© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. cosα = AD/b  AD = bcosα

AD2 + CD2 = b2    b2cos2α + CD2  = b2  ⇒  CD2 = b2 - b2cos2α 

DB = AB - AD = c - bcosα

DB2 + CD2 = CB2  
  (c - bcosα)2 + b2 - b2cos2α = a2
c2 - 2bccosα + b2cos2α + b2 - b2cos2α = a2
a2 = b2 + c2 - 2bccosα

       
2.

       
  A. x2 = 102 + 142 - 2 • 10 • 14 • cos52º  = 123,61  ⇒  x = 123,61 = 11,1
       
  B. 152 = 72 + 112 - 2 • 7 • 11 • cosα
225 = 170 - 154cosα
55 = -154cosα
cosα = -0,357
α = 110,9º
       
  C. 92 = 102 + 62 - 2 • 10 • 6 • cosα
81 = 136 - 120cosα
-55 = -120cosα
cosα = 0,458
α = 62,7º
       
  D. x2 = 42 + 92 - 2 • 4 • 9 • cos71 = 73,56  ⇒  x = 73,56 = 8,6
       
3.

       
  A. 6/sin23 = 8/sinα
sinα = 8 • sin23/6 = 0,521
α = 31,4º  maar je moet de hoek  180 - 31,4 = 148,6º hebben
       
  B. 5/sin56 = x/sin94
x = sin94 • 5/sin56 = 6,016

72 = 22 + 6,0162 - 2 • 2 • 6,016 • cosα
49 = 40,197 - 24,066 • cosα
8,803 = - 24,066 • cosα
cosα = -0,366
α = 111,5º 
       
  C. x2 = 62 + 72 - 2 • 6 • 7 • cos55 = 36,82  Þ  x = 36,82 = 6,07

7/sinα = x/sin55
sinα = 7 • sin55/6,07 = 0,945
α = 70,90º
dan is  β = 109,09º  en  γ = 58,91º
7/sinγ = ?/sin55
? = sin55 • 7/sin58,91 = 6,7
       
4. voor de hoek bij A geldt:  72 = 92 + 32 - 2 • 9 • 3 • cosα
49 = 90 - 54cosα
-41 = -54cosα
cosα = 0,759
α = 40,6º

sin(40,6) = CD/3
CD = 3 • sin40,6 = 1,95
       
5. De hoek is dan 75º.

x2 = 42 + 62 - 2 • 4 • 6 • cos75 = 39,58
x = 39,58 = 6,29 cm

       
6. a. D heeft maximale hoogte als B recht onder C staat.

ABC en AED zijn gelijkvormig
BC/CA = DE/DA
60/100 = DE/130
DE = 130 • 60/100 = 78 cm hoog
       
  b. De situatie is dan als hiernaast.
Helemaal ingeklapt was AB = 160, dus nu is AB = 140

602 = 1002 + 1402 - 2 • 100 • 140 • cosα
3600 = 29600 - 28000 • cosα
-26000 = -28000•cosα
cosα = 0,928
α = 21,79º en dat is hoek BAC.

sin(21,79) = hoogteD/130
hoogte D = 130 • sin(21,79) = 48,2 cm gaat D omhoog
       
7. in driehoek ACD:

302 = 402 + 452 - 2 • 40 • 45 • cosα
900 = 3625 - 3600 • cosα
-2725 = -3600cosα
cosα = 0,757
α = 40,80º

in driehoek ACB:
BC2 = 452 + 1202 - 2 • 45 • 120 • cosα
BC2 = 8250
BC = 90,8 meter
       
8.

       
  ∠BQA = 180 - 28 - 47 - 38 = 67º
driehoek BQA:  600/sin67 = AQ/sin85  ⇒   AQ = sin85 • 600/sin67 = 649,34

∠APB = 180 - 22 - 28 - 47 = 83º
driehoek APB:  600/sin83 = AP/sin47 ⇒ AP = sin47 • 600/sin83 = 442,11

driehoek PQA:  PQ2 = 442,112 + 649,342 - 2 • 442,11 • 649,34 • cos22 = 84751,13
Dan is PQ = 84751,13 = 291 meter
       
9. De hoeken van de  zeshoek zijn allemaal 120º, want alle hoeken zijn gelijk (steeds de hoek tussen een zijde p en een zijde q)
Binnen de cirkel is nu een gelijkzijdige driehoek met zijden z te zien.
Cosinusregel:  z2 = p2 + q2 - 2pqcos 120º
en ook  z2 = R2 + R2 - 2RRcos120º
samennemen, en invullen cos 120º = -0,5  geeft:

p2 + q2 + pq = 3R2  ofwel  R = √(1/3(p2 + pq + q2)) 

       
10a. Als AB = x dan is  AE = 120 - x

driehoek ABC:
302 = 402 + x2 - 2 • 40 • x • cos∠CAB
80x • cos∠(CAB) = 700 + x2
cos∠CAB = (700 + x²)/80x
maar dat is ook cos
ADG  want die hoeken zijn gelijk (Z-hoeken)

in driehoek AGD:  cos
ADG = DG/90 DG = 90 • cosADG

dat geeft DG = 90 •
(700 + x²)/80x = 787,5/x + 9/8x
  DF = h = DG + GF =   787,5/x + 9/8x + 120 - x  = 787,5/x + 1/8x + 120
       
10b. De stijg/daalsnelheid is h '
h ' = (-787,5 • x-2  + 1/8) • x'
Als x afneemt, dan is x' negatief

-787,5 • x-2 + 1/8 = 0
x-2 = 0,000159
x = 79,4
Als x < 79,4  (en dat is altijd zo, want x < 70), dan is -787,5 • x-2 + 1/8  negatief,
dus als x' negatief is, dan is h' positief  is h' positief, dus stijgt D
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)