De Mooie Oplossing:
Verdeel alle vier de zijden van de vierhoek in vieren en verbind de punten op overstaande zijden met elkaar.
Dat geeft 16 gebieden.
Als je nu 4 gebieden kiest die niet in dezelfde rij of kolom zitten is de oppervlakte precies een kwart van het geheel!

Deze methode geldt trouwens voor elk aantal gebieden; niet alleen bij 4.
Hoe is dat  te zien? In drie stappen !
STAP 1

Elke vierhoek ABCD heeft de volgende prettige eigenschap:
Stel dat P en Q overstaande zijden in dezelfde verhouding verdelen, en R en S ook, dan verdelen PQ en RS elkaar k in diezelfde verhouding.
In de figuur hiernaast betekent dat, dat  PT/TQ = c/d  en  RT/TS = a/b

Bewijs:
Als ABCD een parallellogram is, is het bewijs triviaal want dan zijn er in de figuur alleen maar gelijkvormige delen.
Als ABCD gn parallellogram is, dan maken we dat ervan.
Trek AE evenwijdig aan DC en CE evenwijdig aan DA.
Verdeel parallellogram AECD in vier kleinere parallellogrammen door RF en PG te tekenen.
Verder is HT evenwijdig aan FS.
Nu zijn er veel parallellogrammen te zien waarvan de zijden in gelijke verhoudingen worden verdeeld. En ook een aantal driehoeken waarvan de zijden in gelijke verhoudingen worden verdeeld door een lijn die dus evenwijdig aan de derde zijde is:

AF/FE = c/d = AS/SB  dus in driehoek AEB is FS evenwijdig aan EB.
CG/GE = a/b = CQ/QB dus in driehoek CEB is GQ evenwijdig aan EB.
Kortom:  HT, FS, EB en GQ zijn allemaal evenwijdig.
Maar dan is hoek HPT gelijk aan hoek GPT dus ligt T op PQ.

HT is evenwijdig aan FS dus in driehoek RFS verdeelt HT de twee zijden in gelijke delen; ofwel:
RH/HF = a/b = RT/TS
Het zelfde verhaal met driehoek GPQ geeft  PH/HG = c/d = PT/TQ

Daarmee is stap 1 bewezen.
Belangrijk gevolg:

De lijnen in de figuur helemaal bovenaan verdelen elkaar in gelijke stukken.
STAP  2
Verdeel nu het parallellogram in m bij n gebieden.
Dan delen de lijnen elkaar in gelijke stukken, zoals we hierboven zagen.
Laten we beginnen met twee gebieden.
Omdat P, Q, R en S de middens van de zijden zijn, zijn  TP, TQ, TR en TS de zwaartelijnen van de driehoeken TDA, TCB, TDC en TAB. Die delen de driehoeken dus in twee gelijke oppervlakten.

Voor de oppervlaktes in de figuur hiernaast geldt:

TPDR + TSBQ = a + b + c + d = PAST + RTCQ

Belangrijk tussenresultaat:
Als we de middens van de zijden verbinden zijn de gele en de blauwe oppervlakten gelijk!
STAP 3
Naar meer gebieden: de gelijkheids-ziekte breidt zich uit.
Beschouw meer gebieden, en noem hun oppervlaktes a, b, enz.
Begin met a + g = f + b

Dan geldt ook f + l = g + k, en als we deze twee vergelijkingen bij elkaar opstellen vinden we
 a + g + f + l = f + b + g + k  ofwel a + l = b + k

Nog een keer hetzelfde:  k + q = p + l optellen bij de vorige vergelijking geeft:
a + l + k + q = b + k + p + ofwel  a + q = b + p

Zo breidt de ziekte zich naar boven uit.
En ook naar rechts gebeurt uiteraard precies hetzelfde:

a + g = f + b  en  b + h = g + c telt op tot  a + g + b + h = f + b + g + c ofwel  a + h = f = c.

Kies vier hoekpunten van een willekeurige vierhoek uit de figuur. Dan zijn de oppervlaktes van de parallellogrammen in de vierhoeken kruislings opgeteld aan elkaar gelijk.  

En dat geeft dan eindelijk de mogelijkheid een vierhoek in gelijke stukken te verdelen
Dat gaat als volgt.
Stel dat we n oppervlaktes hebben gekozen die niet in dezelfde rij of kolom liggen. (zie hiernaast). Dan gaan we bewijzen dat de oppervlakte van deze n gebieden samen gelijk is aan de oppervlakte van de hoofddiagonaal (van linksboven naar rechtsonder van de figuur).

Loop gewoon alle vakjes van de hoofddiagonaal af. Als het vakje bij onze verzameling hoort gaan we door naar het volgende vakje van de hoofddiagonaal.
Als dat niet zo is voor vakje X van de hoofddiagonaal, zoeken we de vakjes P en Q in dezelfde rij en in dezelfde kolom als X die wl bij onze verzameling horen. Daarna noemen we Y het vakje dat met P, Q en X een vierhoek maakt, en tot slot vervangen we P en Q door X en Y. Daarmee blijft de oppervlakte gelijk. Een stripverhaal van dit proces zou er z uitzien (het oorspronkelijke gebied is blauw, en we veranderen het stap voor stap naar de hoofddiagonaal toe):
Zo zien we dat de oppervlakte van ons oorspronkelijke gebied gelijk is aan de oppervlakte van de hoofddiagonaal.
Omdat dat geldt voor elk willekeurig gebied (met vakjes in verschillende rijen en kolommen) is de oppervlakte ook precies gelijk aan 1/n.

Daarmee is dan eindelijk onze methode bewezen.

2.  Een vierhoek vierendelen!
Het lijkt een eenvoudiger probleem dan het vorige maar is het niet!
Zoek punt M in een (convexe) vierhoek zodat de lijnen van M naar de middelpunten van de zijden de vierhoek in vier stukken met gelijke oppervlakte delen.

Toch is de oplossing weer van verrassende schoonheid.....