VWO WB12, 2007 - II

 

Bier Tappen

Bij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 180 ml en een standaardafwijking van 15,5 ml.

Iemand bestelt voor een rondje twaalf glazen tapbier.

5p 1.

Bereken de kans dat bij het rondje ten hoogste twee glazen zitten met minder dan 175 ml bier.

 

Ook de totale hoeveelheid getapt bier van het rondje is bij benadering normaal
verdeeld, met standaardafwijking √12 • 15,5 ml.

4p 2.

Bereken de kans dat de totale hoeveelheid getapt bier van het rondje meer dan 90 ml minder is dan je zou mogen verwachten.

 

 

De formule van Heron

In de eerste eeuw van onze jaartelling schreef de Egyptenaar Heron een werk waarin hij een formule gaf voor de oppervlakte van een driehoek. Hij deed dit als volgt. Noem de lengtes van de zijden van de driehoek a,b en c . Zie de volgende figuur.

Noem de halve omtrek van de driehoek s.  Dus s = 1/2 • (a + b + c). Een formule voor de oppervlakte H van de driehoek is dan:

Deze formule wordt de formule van Heron genoemd.

4p 3.

Toon aan dat deze formule de juiste uitkomst geeft voor de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met zijden 3, 4 en 5.

In het vervolg van deze opgave gebruiken we dat de formule van Heron voor elke driehoek geldt. We bekijken driehoeken ABC met AC = 7 en BC = 3 . De lengte van de derde zijde AB noemen we x , met 4 < x <10. In de volgende figuur zijn drie van dergelijke driehoeken getekend.

\

Voor de oppervlakte H van zo’n driehoek ABC geldt:
5p 4. Toon dit aan met behulp van de formule van Heron.

 

Er is één waarde van x waarvoor de oppervlakte van driehoek ABC maximaal is.
Voor deze waarde van x
is  (25 - 1/4x2 )(1/4x- 4)  maximaal

4p 5. Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van x exact.

 

 

 

Bewegende schaduw

Bij een practicumproef draait een doorzichtige cirkelvormige schijf in een verticaal vlak om zijn middelpunt M . Deze schijf heeft een straal van 1 meter. Tussen twee punten op de rand van de schijf wordt een staaf AB met lengte 1 meter bevestigd. De punten op de rand van de schijf hebben een constante snelheid van 1 m/s. Het geheel wordt beschenen door een bundel verticaal invallende evenwijdige lichtstralen. In deze opgave bekijken we de lengte van de schaduw A'B' van de staaf op de grond.

We maken een wiskundig model bij deze proef. We kiezen het assenstelsel in het draaivlak van de schijf, met de x -as langs de grond en de y -as door het middelpunt M van de schijf. De bewegingsvergelijkingen van A en B zijn:

Hierbij zijn  x en y in meter en is t in seconde.

In de figuur hiernaast staat een vooraanzicht van de situatie op een zeker tijdstip. De lengte (in meter) van de schaduw A'B' op tijdstip t noemen we l(t) . Voor elke waarde van t tussen 0 en π geldt: l(t) = sint .

5p 6.

Toon dit langs algebraïsche weg aan.

 

Om de gemiddelde schaduwlengte g van AB (in meter) te berekenen, kunnen we ons beperken tot een halve omwenteling: 0 ≤ t π .

g kan berekend worden met een integraal:
Er geldt:  g = 2/p
4p 7. Toon dit langs algebraïsche weg aan.

We vergelijken de delen van de omwentelingstijd waarvoor l(t) > 2/π en waarvoor l(t) < 2/π We kunnen ons weer beperken tot een halve omwenteling: 0 t π .

5p 8. Onderzoek of deze delen even groot zijn.

 

 

Cirkel en lijn.

Gegeven is de cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. De lijn k raakt aan c in het punt A. Zie de volgende figuur.

Er zijn vier punten die zowel op afstand 1 cm van k als op afstand 1 cm van c liggen.

5p 9. Teken deze vier punten in de figuur. Licht je werkwijze toe.

 

5p 10.

Teken in de figuur de meetkundige plaats van de punten die even ver van k als van c liggen. Licht je werkwijze toe.

 

 

Twee exponentiële functies

We bekijken de grafieken van de functies f en g, gegeven door f(x) = ex en g(x) = e2x voor x ≤ 0. In de volgende figuur staan de grafieken van deze functies. De schaal op de y-as is anders gekozen dan de schaal op de x-as.

Voor elke a < 0 is de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g
en de lijn
x = a gelijk aan     1/2(1 - ea )2 

5p 11. Toon dit op algebraïsche wijze aan.

 

We bekijken de verticale verbindingslijnstukken van de grafieken van f en g voor x ≤ 0. In de figuur hieronder zijn twee van deze verbindingslijnstukken als voorbeeld getekend.

5p 12. Bereken exact de grootste lengte van zo'n verbindingslijnstuk.

 

 

Met verschillende startwaarden
De functie f is gegeven door:
Deze functie kan ook geschreven worden als  f(x)9 - |3x - 9|

In de figuur hieronder is de grafiek van f getekend, evenals de lijn y = x

Bij elke startwaarde s is er een rij u0, u1, u2, ... vastgelegd door:

Neem s = 5. Bij deze startwaarde vertonen de termen van de rij vanaf n = 3 een bepaalde regelmaat.

5p 13. Geef voor n 3 een directe formule waarin je un uitdrukt in n. Licht je antwoord toe.

 

Er zijn startwaarden waarvoor de rij bestaat uit twee verschillende getallen die elkaar afwisselen. Dus u2 = u0.

5p 14.

Eén van die startwaarden is groter dan 5. Bereken deze startwaarde exact.

 

We bekijken het gedrag van de rij voor startwaarden tussen 5/6 en 7/6. Veronderstel dat je voor alle startwaarden tussen 5/6 en 7/6 de eerste stap tekent van de webgrafiek. In de volgende figuur is de strook die dan ontstaat met grijs aangegeven.

Wanneer je voor alle startwaarden tussen 5/6 en 7/6 het vervolg van de webgrafiek tekent, ontstaat het vervolg van de strook.
5p 15.

Onderzoek met behulp van de figuur of de rijen met startwaarden tussen 5/6 en 7/6 convergeren.

 

 

Koordenvierhoeken.

De hoekpunten van vierhoek ABCD liggen op een cirkel. AB is groter dan CD en AD is groter dan BC . De lijnen AD en BC snijden elkaar in P . Verder is gegeven dat AB = BP . Stel ∠BAD = α . Zie de onderstaande figuur.

Er geldt  DC = DP
5p 16. Bewijs dit

 

Nu is bovendien gegeven dat AD een middellijn is van de cirkel; het middelpunt M van de cirkel ligt dus op AD. Het punt S is het snijpunt van AC en BD. Zie onderstaande figuur.

5p 17. Bewijs dat  ∠ASD = 3α

 


UITWERKING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Voor één glas bier is de kans op minder dan 175:  normalcdf(0, 175, 180, 15,5) = 0,3735
Het aantal glazen met minder dan 175 is binomiaal verdeeld met n = 12 en p = 0,3735
P(X
2) = binomcdf(12, 0.3735, 2) = 0,12
2. Het gemiddelde is 12 • 180 = 2160,  en 90 ,minder is dus 2070
normalcdf(0, 2070, 2160, 15,5 •
12)  = 0,05
   
3. = 0,5 • (3 + 4 + 5) = 6   dus  H = (6 • 3 • 2 • 1) = 36 = 6

0,5 • bh = 0,5 • 3 • 4 = 6  :  klopt.
4. omtrek = 3 + 7 + x = 10 + x  dus  s = 5 + 0,5x
H =
((5 + 0,5x)(5 + 0,5x - x)(5 + 0,5x - 3)(5 + 0,5x - 7))
=
((5 + 0,5x)(5 - 0,5x)(2 + 0,5x)(0,5x - 2))
=
(25 - 0,25x + 0,25x - 0,5x2) • (x - 4 + 0,25x2 - x))
=
((25 - 0,25x2 )(0,25x2 - 4)) en dat is de gezochte formule.
5. met de productregel:
de afgeleide is   -2 • 1/4x(1/4x2 - 4) + (25 - 1/4x2 ) • 2 • 1/4x
= -1/8x3 + 2x + 50/4x - 1/8x3
= -1/4x3 + 141/2x = 0
vermenigvuldig eerst met 4:  -x3 + 58x = 0 
  x(-x2  + 58) = 0    x = 0  V  x2 = 58
  x = 0  V  x = -58  V  x = 58
Alleen de laatste waarde is de correct, dus
x =
58.
6. l(t) = xA - xB = cos(t - 1/6π) -  cos(t + 1/6π)
Gebruik de formules voor cos(a - b) en cos(a + b) van je formulekaart:


l(t)cost cos(1/6π)  + sint sin(1/6π) - (cost cos(1/6π) -sint sin(1/6π)
= cost cos(
1/6π)  + sint sin(1/6π) - cost cos(1/6π) + sint sin(1/6π)
= 2 • sint sin(
1/6π)
= 2 • sint1/2   (want  sin(
1/6π) = 1/2)
= sint
7.
8. Zorg dat de GR op Radialen staat.
sint = 2/
π 
  t = sin-1 (2/π) 0,69    t = π - sin-1 (2/π) 2,45
Ertussenin is sint groter dan  2/
π dus dat is  2,45 - 0,69
1,76
De rest van de tijd is sint kleiner dan 2/
π dus dat is  π - 1,76
1,38
De beide delen zijn dus NIET even groot.
9. Op afstand 1 van lijn k:  teken twee lijnen evenwijdig aan k op afstand 1.
Op afstand 1 van c:  teken cirkels met straal 2 en 4 en middelpunt M.
De gezochte 4 punten zijn de snijpunten van de twee lijnen met de twee cirkels: de punten P, Q, R en S hiernaast.
     
10. Kijk naar de vorige oplossing. Wat gebeurt er als de afstand tot cirkel en lijn groter wordt?
Punt Q blijft op MA, maar loopt naar M toe.
Punt S blijft op MA maar loopt van A af.
De punten P en R liggen op een parabool met top A. De meetkundige plaats is dus de halve lijn MA (eindpunt M) plus de parabool.
Zie de figuur hiernaast

11.
=
1/2 - ea + 1/2e2a

1/2(1 - ea )2 = 1/2 • (1 - ea )(1 - ea) = 1/2 (1 - ea - ea + e2a ) = 1/2(1 - 2ea + e2a ) = 1/2 - ea + 1/2e2a

Dat is inderdaad hetzelfde.
12. De lengte L  is gelijk aan:  L = ea - e2a
De lengte is maximaal als de afgeleide nul is:
L ' = ea - 2 • e2a =

  ea • (1 - 2ea ) = 0 
  ea = 0    2ea = 1

De eerste kan niet, dus  2ea = 1 
  ea = 1/2 
  a = ln(1/2)
L = eln(0,5) - e2ln(0,5) = 0,5 - (eln0,5)2 = 0,5 - 0,52 = 0,5 - 0,25 =
0,25
13. 5 → 3 → 9 →  -9 → -27  →  -81   ...
Zodra un is negatief wordt het met 3 vermenigvuldigd. Daardoor blijft het negatief en wordt de volgende keer wéér met 3 vermenigvuldigd. Kortom: we blijven de bovenste van beide formules voor f gebruiken.
De formule zal zijn van de vorm  un = B • 3n
Omdat u3 = -9  moet gelden:  -9 = B • 33  ofwel  B = -1/3  en de formule is 
un = -1/3 • 3n  (of un = 3n-1)
14. Stel, u0 = x
Dan is  u1 = 18 - 3x  (immers  x > 5)
Er zijn twee mogelijkheden:

Als u1 < 3 dan geldt  u2 = 3u1 = 3(18 - 3x) en dat moet gelijk zijn aan u0 dus aan  x
3(18 - 3x) = x 
⇒  54 - 9x = x 
⇒  10x = 54 
⇒  x = 5,4
u0 = 5,4  ⇒  u1 = 1,8  ⇒   u2 = 5,4  KLOPT!

Als u1 > 3 dan geldt  u2 = 18 - 3u1 = 18 - 3(18 - 3x) = 18 - 54 + 9x = 9x - 36
Dat moet gelijk zijn aan u0 dus aan x:  9x - 36 = x 
  8x = 36    x = 4,5
Maar dat klopt niet want dat is niet groter dan 5.

Conclusie: 
u0 = 5,4

15. Hiernaast zie je dat het grijze gebied na twee keer reduceert tot de rode lijn!
En die divergeert duidelijk, dus elke rij met startwaarde uit het grijze gebied divergeert.
(ze gaan allemaal de rode lijn volgen)

16. ∠BCD = 180 - α  (want ABCD is een koordenvierhoek.
Dus is ∠DCP =
α
Maar ∠CPD =
α want driehoek ABP is gelijkbenig met tophoek B.
Als ∠DCP = ∠CPD is driehoek CDP óók gelijkbenig met tophoek D.
Dus DP en DC zijn even lang.
17. Driehoek CDP is gelijkbenig met basishoeken DCP = CPD = α  (zie antwoord 16)
Dus ∠PDC = 180 - 2
α  (hoekensom driehoek)
Dus ∠ADC = 2
α  (samen een gestrekte hoek)
∠ACD = 90º  (want AD is een middellijn)
dus ∠DAC = 90º- 2
α  (hoekensom driehoek DAC)
∠CAB = ∠DAB - ∠DAC =
α - (90 - 2α) = 3α - 90
∠ABD = 90º  (want AD is een middellijn)
Dan is ∠BSA = 180º- ∠SAB - 90º = 180 - 3
α + 90 - 90  = 180 - 3α
Dan is ∠ASD = 3
α  (samen 180º)