Volledige Oplossingen.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Even bekijken wat we nou eigenlijk gedaan hebben....

We bekeken tweede orde differentiaalvergelijkingen van de vorm:  y''  + py' + qy + r = 0,
Het oplossysteem was in grote lijnen als volgt:

       

       
Het is de vraag of die laatste stap (dat vinden van A en B) wel altijd lukt!
Stel dat de beginvoorwaarden zijn  y(0) = y0  en  y'(0) = y'0 .
Dan komt het vinden van A en B neer op het oplossen van dit stelsel van twee vergelijkingen:

Ay1(0) + By2(0) + p(0) = y0
Ay1' (0) + By2' (0) + p'(0) = y'0

Bedenk goed dat daarin de enige onbekenden die A en B zijn.
We gaan dit oplossen door de eerste vergelijking als A = .... te schrijven en dat dan in te vullen in de tweede.
  y0y1'(0) - By2(0)y1'(0)-p(0)y1'(0) + By2'(0)y1(0) + p'(0)y1(0) = y0'y1(0)
  B {y2'(0)y1(0) - y2(0)y1'(0)} =  y0'y1(0) -  y0y1'(0) + p(0)y1'(0) - p'(0)y1(0).
       
Dat geeft een oplossing voor B, behalve....  als die noemer nul is!
En ook andersom:  als je van de ene vergelijking B = .... maakt en dat invult in de andere vergelijking, dan krijg je een uitdrukking voor A met precies diezelfde noemer!!

Die noemer is nogal belangrijk dus!
Hij heet de "Wronskiaan"  (ook wel de "Wronski-determinant").
Als je wl waarden voor A en B kunt vinden, dan heet het stelsel y1, y2  een volledig stelsel oplossingen van de differentiaalvergelijking.
       
y1, y2 is een volledig stelsel, als geldt: 

y1(0) y2'(0) - y1'(0) y2(0) 0
       
En natuurlijk geldt dit niet alleen voor x = 0:  je kunt immers elke y(x) en  y'(x)  als "begin"waarden  nemen.  Dus in het algemeen moet gelden:
       
y1, y2 is een volledig stelsel, als geldt: 

y1(x) y2'(x) - y1'(x) y2(x) 0
       
         
1. a. Toon aan dat de vergelijkingen y1 = eλ1x  en y2 = eλ2x die je vindt uit de karakteristieke vergelijking,  altijd een volledig stelsel zijn als λ1 ≠ λ2.
         
  b. Toon aan dat de vergelijkingen y1 = eλx  en  y2 = xeλx die je vindt uit de karakteristieke vergelijking als D = 0, altijd een volledig stelsel zijn.
         
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)