Wortels in integralen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
Bij sommige wortels in integralen zijn hele simpele substituties al voldoende. Neem het volgende voorbeeld.
       
Voorbeeld.      
Die lijkt behoorlijk lastig, maar is door de eenvoudige substitutie  3√(x + 1) = u  ineens heel eenvoudig.
Daaruit volgt namelijk  x + 1 = u3  ofwel  x = u3 - 1  en dus is  dx = 3u2du.
Invullen in de integraal:
En dat is een makkie:  de primitieve is F(u) =  3/5u5 + 3/2u2 + c
Met u = (x + 1)1/3  geeft dat dan   F(x) = 3/5(x + 1)5/3 + 3/2(1 + x)1/3 + c
       
       
Hier is nog een voorbeeldje:      
       
Voorbeeld.      
De simpelste substitutie die ik kan verzinnen om van die wortel af te komen is  u = √(x + 8)
Dat geeft  u2 = x + 8  dus  x = u2 - 8  en  dx = 2udu
Invullen maar:
Ha leuk!
We mogen lekker weer breuksplitsen!!
Ik geef meteen het resultaat:
     
Dat geeft de primitieve:  F(u) =  1/3ln│u - 2│+ 2/3ln│u + 4│ + c
u weer in x veranderen geeft dan   F(x) = 1/3ln│√(x + 8) - 2│ + 2/3ln│√(x + 8) + 4│+ c
       
           
1. Bereken de volgende integralen:
           
  a.  

2/5(x - 2)2,5 + 8/3(x - 2)1,5 + 6(x - 2)0,5 + c
           
  b.  

3/5(x- 1)5/3 + 3/2(x - 1)2/3 + c
           
  c.  

2ln(√x + 1) + c
           
  d.  

5/9(x +1)9/5 - 5/4(x + 1)4/5 + c
           
           
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)