Vergelijkingen met wortels (deel 2)

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Soms is het oplossen van een vergelijking met wortels erin niet zo eenvoudig als alleen maar isoleren, kwadrateren, controleren. Dat is meestal zo als er meer dan n wortel in een vergelijking voorkomt.

Kijk als er precies twee wortels in een vergelijking staan en verder geen andere termen, dan wil het nog wel.
Neem de vergelijking  2√(2x - 3) - √(x - 1) = 0 
Dan kun je die ene wortel naar de andere kant brengen en dan beide kanten kwadrateren:

2√(2x - 3) = √(x - 1)  ⇒  4(2x - 3) = (x - 1)  ⇒  8x - 12 = x - 1   ⇒  7x = 11    x = 11/7

Maar zet er nog een extra term bij, dan wil het niet zo makkelijk meer.
Kijk maar eens naar de vergelijking:    2
(2x - 3) - (x - 1) - 9 = 0
Daar kun je van maken   2
(2x - 3) = (x - 1) + 9
Maar als je beide kanten nu kwadrateert, dan komt er wr een wortel tevoorschijn!
Kijk maar:    4(2x - 3) = (
(x - 1) + 9)2 =  (x - 1) + 2√(x - 1) 9 + 81
Zie je wel:  wr een wortel.

Maar goed, als je een optimist bent, dan kun je ook redeneren:
 
"Het is er tenminste eentje minder"
 

En dat is ook zo.

We hebben nu een vergelijking met maar n wortel, dus die kan via "isoleren, kwadrateren, controleren" worden opgelost.
Dat gaat z:
  4(2x - 3) = (x - 1) + 2√(x - 1) 9 + 81
  8x - 12 - x + 1 - 81 = 18√(x- 1)
  7x -92 = 18√(x- 1)
  (7x - 92)2 = 324(x- 1)
  49x2 - 1288x + 8464 = 324x - 324
  49x2 - 1612x + 8788 = 0
De ABC formule geeft eenvoudig  x = 26  of  x = 338/49
Controleren:  x = 26 is de juiste oplossing.

       
         
1. Los op:
         
  a. √(2x - 1) - √(x - 4) = 2  

13 of 5

  b. 2√x = √(x - 3) + √(3x - 3)  

x = 4

  c. √(x + 7) + 2 = √(3 - x)  

x = -6

         
         
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)