h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Op de vier zijden van een vierhoek worden vier vierkanten getekend.
De middens van tegenover elkaar liggende vierkanten worden met elkaar verbonden.
Bewijs dat de twee lijnstukken die dan ontstaan loodrecht op elkaar staan.

BEWIJS.

Noem de hoekpunten A, B, C en D en stel ze voor als getallen in het complexe vlak. Stel A = 2a, B = 2b, C = 2c en D = 2d.
Het midden M van AB is dan het getal  a + b
De vector AM wordt gegeven door  b - a
Een draaiing met de klok mee over 90 is hetzelfde als een vermenigvuldiging met -i.  AM wordt daardoor MP waarbij P het midden van het vierkant op AB is.
Vector MP is dus  -i(b - a) en punt P is het punt bij het getal  a + b + i(a - b)

Op dezelfde manier kunnen we de middens Q,R en S van de andere drie vierkanten weergeven:

P = a + b + i(a - b)
Q = b + c + i(b - c)
R = c + d + i(c - d)
S = d + a + i(d - a)

Vector PR wordt dan gegeven door  c + d - a - b + i(c - d - a + b)  en vector QS door  d + a - b - c + i(d - a - b + c)

Daaruit zien we direct dat  PR = -i QS  en omdat dat een draaiing over 90 voorstelt staan PR en QS loodrecht op elkaar.
(we hebben dus niet bewezen dat ze elkaar snijden, maar wl dat ze loodrecht op elkaar staan)