h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Regelmatiger dan je zou denken!
We bekijken regelmatige veelhoeken die ingeschreven zijn in een eenheidscirkel. Zie de figuren hiernaast.

Laten we beginnen met een driehoek.
Omdat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar in stukken met verhouding 1 : 2 verdelen, en omdat het langste deel van de zwaartelijn precies de straal van de cirkel is, heeft de zwaartelijn lengte 1,5.
tan 60 = 1,5/x = √3  ⇒  x = √3
Dan geldt PA PB = √3 √3 = 3

Dan het vierkant.
Daar staat x in een 1-1-√2 driehoek, dus x = √2
Dan geldt  PA PB PC = √2 2 √2 = 4
Hmm... driehoek 3, vierkant 4....zien wij hier regelmaat opduiken?

De zeshoek proberen (de vijfhoek vind ik te moeilijk)
x is de hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek met zijden 1.
Dan vinden we met Pythagoras dat x2 + 0,52 = 12  ⇒  x = 0,5√3
En dan geldt  PA PB PC PD PE = 1 √3 2 √3 1 = 6

Het begint er al aardig op te lijken. We durven de volgende stelling aan:

Teken een regelmatige veelhoek waarvan de omschreven cirkel straal 1 heeft.
Trek van een hoekpunt van deze regelmatige veelhoek lijnen naar alle andere hoekpunten.
Dan is het product van hun lengtes precies gelijk aan het aantal zijden van de veelhoek.
Maar ja:  Hoe bewijs je zoiets?
Jawel hoor: daar komen de complexe getallen  weer aangemarcheerd.

Laten we de veelhoek in het complexe vlak neerleggen met het middelpunt in de oorsprong en punt P in 1 (eigenlijk 1 + 0i).
Dan zijn de hoekpunten van de veelhoek de oplossing van de vergelijking zn  = 1 ofwel zn - 1 = 0
Dat kun je zien door die punten te schrijven als zk = r eiφDaarbij is dan φ = k 2π/n dus bij de zeshoek is φ bijvoorbeeld  0, 1/3π, 2/3π, π, 4/3π, 5/3π). Verder is  r = 1 dus kunnen we schrijven z = eiφDan is zn = eniφ = ek2π = 1
Voorlopige conclusie:
zkn - 1 = 0   met  z = eiφ   (φk = k 2π/n)


Nou weten we dat zn - 1 is te ontbinden in  zn - 1 = (z - 1) (zn - 1 + zn - 2 + ... + z + 1)
Dus verandert  zn - 1  = 0  in  (z - 1) (zn - 1 + zn - 2 + ... + z + 1) = 0
De eerste factor zorgt duidelijk voor de oplossing z0 = 1
Het tweede deel moet dan alle andere oplossingen  z1 tm zn -1  geven.
Dus geldt
 zn - 1 + zn - 2 + ... + z + 1 = (z - z1) (z - z2) ... (z - zn - 1)
Vul nu voor z het getal 1 in, dan vinden we:   1 + 1 + ... + 1 = (1-z1) (1 - z2) ... (1 - zn - 1)
Ofwel :  n = (1-z1) (1 - z2) ... (1 - zn - 1)
Neem de absolute waarde (lengte van de vector z)  van beide kanten:   n = | (1 - z1) | | (1 - z2) | ... | (1 - zn - 1) |
En daar staat precies de stelling die we wilden bewijzen!