Een variabel punt.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Als je een vectorvoorstelling van een lijn hebt, dan zie je daaraan direct dat een willekeurig punt van die lijn maar van één getal afhangt. Dat getal is namelijk de enige letter in zo'n vectorvoorstelling, en die heet meestal λ. Als λ bekend is, is het punt dat erbij hoort ook bekend. Bij elk punt hoort precies één λ, en bij elke λ hoort precies één punt.
Dan heeft een willekeurig punt P  van die lijn de coördinaten P = (-2 + 3λ,  1 + 4λ).
Zie je wel?  Zei ik toch?  Alleen maar een λ....
       
Wat kun je d'r mee?
       
Ach, eigenlijk van alles.....
Hier volgt een kleine greep uit de talloze mogelijkheden...Volg de voorbeelden maar, en je krijgt vanzelf een idee van "Hoe het werkt". Eigenlijk doe je alle berekeningen met vectoren uit de vorige lessen nu met een variabele (λ) erin.

1. snijpunten uitrekenen.
En verder is er de cirkel  x2 + y2 = 25.  Bereken de snijpunten van de lijn met de cirkel.
       
Begin eerst met vast te stellen dat een variabel punt van de lijn het punt  (1 + λ, 6 - λ) is.
Dat punt moet dus óók op die cirkel liggen. Maar dat betekent dat je de coördinaten van dat punt kunt invullen in de vergelijking van de cirkel.  Dat moet dan kloppen.
Dat geeft  (1 + λ)2 + (6 - λ)2 = 25
1 + 2λ + λ2 + 36 - 12λ + λ2 = 25
2 - 10λ - 12 = 0   ⇒  λ2 - 5λ + 6 = 0   (λ - 2)(λ - 3) = 0   λ = 2    λ = 3
Het variabele punt was (1 + λ, 6 - λ)  en dat is dan nu geworden: (3, 4) en (4, 3).
       
2.  afstanden uitrekenen.
       
Voor de afstand d tussen twee punten  P(xP, yP) en Q(xQ, yQ) geldt:
       

d = √( (xP - xQ)2 + (yP - yQ)2 )

       
Maak je niet al te druk; daar staat eigenlijk gewoon Pythagoras.
Maar natuurlijk kan één van die punten (of zelfs beiden) best een variabel punt zijn. Waarom niet?
       
Voorbeeld:
Welk punt van deze lijn heeft afstand 32  tot het punt P(7, 6)?

Nou, een variabel punt van deze lijn is nog steeds   (1 + λ, 6 - λ)  net als in het vorige voorbeeld.
De afstand van dit variabele punt tot P(7, 6) is dan gelijk aan (met de d-formule hierboven) :   
((1 + λ - 7)2 + (6 - λ - 6)2 ) =  ((λ - 6)2 + (-λ)2) = (2λ2 - 12λ + 36) = 32
Kwadrateren:  2λ2 - 12λ + 36 = 18  ⇒  2λ2 - 12λ + 18 = 0   ⇒  λ2 - 6λ + 9 = 0  ⇒  (λ - 3)2  = 0  ⇒ λ = 3
Dat geeft het punt  (4, 3)
       
3. hoeken uitrekenen.
       
Voorbeeld.

P is het punt  (5, 2)
Ergens op de lijn  y = 2/3x + 3 ligt een punt Q zodat PQ een hoek van 45º maakt met de lijn (zie de figuur).
Bereken de coördinaten van Q.

 
een variabel punt Q is dus  (3λ, 3 + 2λ).
De hoek tussen deze vector en de richtingsvector van de lijn bereken je natuurlijk met die inproductformule:
Dat moet gelijk zijn aan cos 45º = 1/22.
Dus 1/22 • (169l2 - 338l + 338) = 13λ - 13.
Beide kanten kwadrateren:   1/2 • (169λ2 - 338λ + 338) = (13λ - 13)2 = 169λ2 - 338λ + 169.
Hergroeperen:  169λ2 - 338λ = 0  ⇒ 169λ(λ - 2) = 0  ⇒ λ = 0  ∨  λ = 2.
λ = 0 geeft het punt  Q(0, 3) en λ = 2 geeft het punt  Q(6, 7).
       
4.  bewijzen.
       
Zie de figuur hiernaast.
A en B zijn vaste punten, met AB = 2.
Punt P beweegt over de loodlijn in A van AB.
BQ staat loodrecht op PB, en Q ligt op de loodlijn van AP in punt P.
Toon aan dat punt Q over een parabool beweegt.

Leg eerst een assenstelsel aan. Bijvoorbeeld zoals hiernaast met  A = (0,0) en B = (0,2).  P loopt dan over de x-as.
P is het variabele punt  (λ, 0)

Q is het variabele punt  (2μ, 2 + μλ)
Maar de x-coördinaat van Q is gelijk aan λ (want Q ligt ook op de loodlijn PQ)  dus geldt  2μ = λ
Dan is  Q = (2μ, 2 + μ•2μ) = (2μ,  2 + 2μ2)
Ga m elimineren:
x = 2μ  geeft μ = 1/2dus dan is y = 2 + 2μ2 = 2 + 2(1/2x)2 = 2 + 1/2x2
Dat is inderdaad de vergelijking van een parabool.
       
OPGAVEN
     
1. Op een lijnstuk AB met lengte 8 wordt punt P gekozen.
Op AP en BP worden gelijkbenige rechthoekige driehoeken AQP en PRB geconstrueerd met Q en R aan dezelfde kant van AB.
M is het midden van RQ.

Wat wordt de verzameling punten M als P lijnstuk AB doorloopt?

         
2. Gegeven is punt P(11, 5)
Welk punt van de lijn y = 2x + 3 heeft afstand 10 tot P?
       

(5,13)  en (1,5)

     
3. Vanaf de oorsprong O trekken we een lijn naar een punt P  dat ergens op de lijn y = 10 - x ligt, en vervolgens gaan we in een rechte lijn van P naar het punt  Q(4, 0)

Voor welke P is de totale afgelegde afstand minimaal?
Geef de coördinaten in twee decimalen nauwkeurig.

       

(6.25, 3.75)

   
4. P is het punt  (1, 2) en Q is het punt (8, 5), R is een punt van de y-as.
Wat is de maximale waarde voor hoek PRQ?  Geef je antwoord in graden en in twee decimalen nauwkeurig.
       

71,83º

         
5. Examenvraagstuk Wiskunde B,  2017-I
         
 

Gegeven is lijn k met vergelijking y = 1/2x + 3 . Op deze lijn ligt het punt P.

Vector OP wordt om de oorsprong over 90° linksom gedraaid. Zo ontstaat vector OP'
Vector PQ heeft dezelfde richting en dezelfde lengte als OP'.  Zie de figuur.

         
 

         
  Wanneer het punt P over lijn k beweegt, zal het punt Q over een lijn m bewegen. In de figuur is m gestippeld weergegeven.
Stel een vergelijking van lijn m op.
         
6. Examenvraagstuk Wiskunde B,  2019-I
         
  Lijn k gaat door de punten A(0,10) en B(40, 0) .
De baan van een punt P is gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
x(t)= 18 + 5t  en  y(t) = 30 - 3t

De baan van punt
P is de lijn m. Zie de figuur.
         
 

         
  Bij bijna elke positie van punt P vormen de punten A, B en P een driehoek ABP. Er is één uitzondering.
         
  a. Bereken de coördinaten van P zodat A, B en P niet de hoekpunten van een driehoek vormen.
       

(-12, 88)

  b. Onderzoek op algebraïsche wijze of er een positie van P is, zó dat driehoek ABP een rechte hoek heeft bij P én driehoek ABP een gelijkbenige driehoek is.
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)