© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

t-toets voor twee niet-gepaarde steekproeven.
       
De t-verdeling voor het meten van twee gemiddelden staat in deze les omschreven.
Wat hier volgt is alleen wat gevolgen daarvan voor het uitvoeren van een t-toets om te kijken of die gemiddelden significant van elkaar verschillen.

Stel dat we twee series metingen  x en y hebben, met  aantallen n1 en n2.
We maken de aanname dat die twee series afkomstig zijn uit twee normale verdelingen met gelijke standaarddeviaties.

Het uitvoeren van een t-toets komt er nu op neer om de twee gemiddelden μx en μy met elkaar te vergelijken. Dat doen we weer door de grootte van het verschil  v = μx - μy te nemen.
Voor de standaarddeviatie daarvan geldt:  

       
Daarbij is σ de standaarddeviatie van alle metingen (n1 + n2) samen.
De toetsingsgrootheid  t = x - μy)/σv  volgt nu weer een t-verdeling,  met aantal vrijheidsgraden  n1 + n2 - 2

Voorbeeld.

Van een aantal mannen van 20 jaar en van een aantal mannen van 40 jaar is de bloeddruk (bovendruk) gemeten. Dat gaf de volgende resultaten:

       
20-jarigen 120 124 116 130 127 143 126 141 102              
40-jarigen 129 123 134 132 156 118 119 131 132 149 125 128 128 134 122 119
       
Neem aan dat beide groepen uit een normale verdeling met gelijke standaarddeviatie zijn gekozen. Kun je concluderen dat mannen van 40 jaar een hogere bloeddruk hebben dan mannen van 20 jaar?  (neem α = 0,10, éénzijdig).

n1 = 9  en  n2 = 16.
De standaarddeviatie van de hele groep is σ = 23,18  dus  σv 23,18 • √(1/9 + 1/16) = 9,658
μ1 = 125,44  en  μ2 = 129,84
t(129,84 - 125,44)/9,658 = 0,455
De t-waarde bij  16 + 9 - 2 = 23 vrijheidsgraden en  α = 0,10 is 1,319.
De gemeten t-waarde (0,455) is kleiner, dus er is geen reden om H0 te verwerpen: het verschil tussen beide groepen is niet significant genoeg.

       
       
       
  OPGAVEN
       
1. Het IQ van mensen van een bepaalde leeftijdsgroep is doorgaans normaal verdeeld. Hieronder zie je de resultaten van IQ-metingen onder twee groepen jongeren  van 15 jaar. Het betreft jongeren uit de stad en jongeren van het platteland.
       
 
STAD 98 123 142 134 92 84 112 102 115 86 100 102 134 132 128    
PLATTELAND 99 112 112 141 98 86 100 99 105 123 110 100 96 102 101 112 100
       
  Is er (met een significantieniveau van 5%) reden om aan te nemen dat het gemiddelde  IQ van beide groepen verschilt?
       
       
     
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)