Beperkende voorwaarden.

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Je kunt niet altijd alles hebben....  
   
Deze les bekijken we de wiskunde van de beperkingen.
 
Neem het geval van Marleen, die een feestje wil gaan geven, en daar inkopen voor gaat doen.
Om het simpel te houden gaat ze maar twee dingen kopen :  Paprikachips en Breezers.
De vraag is alleen  "Hoeveel van elk gaat ze kopen?"

En daar komen de  beperkingen al!!!

       
Er zijn verschillende redenen waarom Marleen niet oneindig veel van die Breezers en Chips kan kopen.
Hier volgen er een aantal.

Reden 1:  Geld.
De meest voor de hand liggende reden. Marleen heeft een beperkt budget. Zij is van plan maximaal €180,- te gaan besteden. Dat betekent bijvoorbeeld dat zij 40 breezers zou kunnen kopen (want die kosten  €4,50), of 240 pakken chips (want die kosten €0,75), of natuurlijk een combinatie van beiden.
Marleen besluit het wiskundig aan te pakken, en redeneert z๓:

Stel dat ik B breezers koop, dan kost mij dat in totaal 4,50 • B euro
Stel dat ik verder C zakken chips koop, dan kost mij dat
0,75 • C euro.
Samen mag dat niet meer zijn dan
180,-  dus dat geeft mij de "geldbeperking":
 

Geld:   4,50 • B + 0,75 • C 180

 

Marleen tekent een assenstelsel met op de x-as de breezers en op de y-as de chips, en ze tekent daarin ook de lijn  3,50B + 0,75C = 180.
Van haar wiskundelessen weet ze dat het een rechte lijn moet zijn, en ze had hierboven al beredeneerd dat die lijn door (0, 240) en (40,0) moet gaan
Om onder de 180 euro te blijven zal Marleen inkopen moeten doen binnen het groene gebied hiernaast.

       
Reden 2:  Ruimte.    
Marleen heeft voor het boodschappen doen twee enorme tassen mee. Plus nog twee fietstassen. Meer boodschappen dan in de tassen passen kan ze niet doen. Het blijkt dat een pak chips dubbel  zoveel plaats inneemt als een breezer. In haar al haar tassen samen is plaats voor maximaal 100 pakken chips (of dus 200 breezers of een combinatie).
Marleen redeneert als volgt:
In totaal heb ik 200 "breezerplaatsen".
Als ik
B breezers meeneem dan kost dat ook B breezerplaatsen
Als is
C pakken chips meeneem dan kost dan 2 • C breezerplaatsen
Samen mag dat niet meer dan
200 zijn, dus dat geeft de ruimtevergelijking:
 

Ruimte:  2 • C + B 200

 

Zij tekent ook de lijn die daarbij hoort (door (0,100) en (200,0))

       
Reden 3:  Genoeg Voedsel
Om geen dronken zootje te krijgen vindt Marleen het erg belangrijk dat er voldoende voedsel is. Ze wil daarom minstens 30 pakken chips kopen.
Dat geeft de volgende "voedselvergelijking":
 
Voedsel:  C  30
 

En er komt weer een lijn in het gebied bij.

       
En zo gaat dat alsmaar door. Bij elke beperking of extra voorwaarde die moet gelden komt er een grenslijn in de tekening bij. De mogelijkheden die over blijven (dat groene gebied) noemen we het  "toelaatbare gebied". Het geeft alle mogelijkheden voor x en y weer die voldoen aan al die beperkende voorwaarden.

Nog een paar puntjes om op te letten:

       
puntje 1.
Het is soms lastig om je variabelen te kiezen. Ofwel:  "Wat zijn de letters waar ik mee ga werken?"
Als je twijfelt vraag jezelf dan steeds af:  "Wat kan ik kiezen?"  "Wat moet ik beslissen?"

En als je daarna vergelijkingen op wilt stellen vraag je dan daarna af:  "Waarom kan ik niet superveel nemen?"  "Wat gaat er fout als ik teveel of te weinig kies?"
 
puntje 2.
Het toelaatbare gebied in bovenstaand voorbeeld is niet dat hele groene gebied, maar het zijn de roosterpunten daarin. Het aantal pakken chips en het aantal breezers moet namelijk een geheel getal zijn.
Verder zijn roosterpunten die precies op een grenslijn liggen ook toegestaan. Dat zie je al aan de vergelijkingen:  daar staat  ≥ en   en niet  > en <.
     
puntje 3.
Let goed op welke kant van een grenslijn is toegestaan en welke juist niet.
In het voorbeeld was dat vrij duidelijk, maar dat is niet altijd zomaar het geval.
Neem de vergelijking  4x - 3y
12 waarvan de lijn hiernaast is getekend.
Dan is het toegestane gebied dat groene deel aan de onderkant.
Als je twijfelt welke kant je moet hebben, kies dan gewoon een punt aan ้้n van beide kanten van die lijn en vul dat punt in de vergelijking in.
Als je in de figuur hiernaast het punt (2,4) zou proberen dan geeft dat bij invullen  4 • 2 - 3 • 4  
12  en dat klopt niet, dus je moet de andere kant van de grenslijn hebben.

       
puntje 4.
In het voorbeeld waren alle grootheden positief. Dat betekent dat eigenlijk ook  B 0 en C 0 beperkende voorwaarden waren, dus dat ook de B-as en de C-as grenslijnen waren.
       
Ik denk dat het tijd is het nu zelf te gaan proberen. Denk bij de volgende problemen aan de algemene aanpak:
       
1.  Kies twee variabelen
(vraag je af:  "wat kan ik kiezen"?)
2. Wat zijn de beperkingen?
(elke beperking geeft een vergelijking).
3. Teken het gebied.
(arceer de goede kant).
       
           
  OPGAVEN
           
1. Mijn vrouw heeft een volkstuintje van 200 m2 waarin zij aardappelen en boontjes wil gaan planten. Eventueel laat ze een deel leeg.
Het onderhoud en het beplanten van een m2 aardappelen kost  €0,20  per seizoen, en voor boontjes is dat  €0,60.
Daar is uiteraard geen werktijd in meegerekend; ze doet het als een hobby.
Maar ze is niet van plan in het seizoen om meer dan €90,- uit te geven aan onderhoud en beplanten
Een m2 aardappelen zal per seizoen 10 uur werk opleveren, en een m2 boontjes kost 5 uur werk.
Mijn vrouw heeft in een seizoen niet meer dan 1500 uur tijd over om aan haar volkstuintje besteden.

Om te beslissen hoe ze haar tuintje moet beplanten kun je een toelaatbaar gebied tekenen.
Doe dat.
           
2. Een moeder van een leerling wil voor de sponsordag van de school een hoeveelheid zandgebak en een hoeveelheid schuimgebak maken.
Haar recepten vermelden de volgende ingredi๋nten:
           
 
  zandtaart schuimgebak
bakmeel
melk
eieren
700 gram
0,5 liter
1
300 gram
1 liter
4
           
  a. Zij heeft de beschikking over in totaal 17 kg bakmeel, 16 liter melk en 60 eieren.
Geef ongelijkheden die deze beperkingen weergeven, en teken het toelaatbare gebied.
           
  Helaas heeft ze de beschikking over ้้n klein oventje waarin per keer 1 zandtaart of 1 schuimtaart kan. Een schuimtaart moet 2 uur in de oven, en een zandtaart 3 uur.
De goede vrouw is bereid om zes dagen lang 10 uur per dag haar oven te laten bakken.
           
  b. Leg duidelijk uit hoe het toelaatbare gebied door deze extra voorwaarde verandert.
           
3. Een margarinefabrikant maakt twee soorten margarine; nl. gewone margarine en dieetmargarine. Voor beide soorten beschikt hij over ombeperkte hoeveelheden grondstoffen. Elke soort heeft een aparte machine waarmee de margarine wordt gemaakt. De machine voor de gewone margarine heeft een dagcapaciteit van 1000 kilo, en die voor dieetmargarine een capaciteit van 750 kilo.
Na de bereiding worden beide soorten margarine op maat gesneden (in blokjes van 250 gram) en verpakt. Het eerste gedeelte van een dag wordt alleen gewone margarine verwerkt, daarna wordt de machine gereinigd en ingesteld op "dieet" en het tweede gedeelte van een dag wordt er uitsluitend dieetmargarine verwerkt.
De twee delen van een dag zijn niet noodzakelijk even lang. De totale tijd dat een machine een dag kan werken is 7 uur en 30 minuten. Per uur verwerkt deze snij/pakmachine 150 kilo gewone margarine of 225 kilo dieetmargarine.
Tenslotte worden de pakjes margarine (van 250 gram) verpakt in dozen van 20 stuks. De man die dat werk verricht kan per dag maximaal 250 dozen verwerken.

Stel beperkende voorwaarden op en teken het toelaatbare gebied.
           
4. Port is een mengsel van verschillende wijnen. Porthandelaar Peter heeft een voorraad van 10000 liter port. Hij vindt dit te weinig en wil daarom port van andere bedrijven inkopen om te mengen met zijn eigen voorraad. Een bedrijf uit Oporto en een bedrijf uit Lissabon bieden port te koop aan.

Bestanddelen van port zijn onder andere alcohol, sulfiet en toegevoegde kleurstoffen. In de volgende tabel staan de gegevens over de samenstelling van de port van de drie bedrijven.

           
 
  eigen voorraad Oporto Lissabon
sulfietgehalte (in mg/liter) 8,5 4,5 10
alcoholpercentage 8 11 12
kleurstoffen (percentage) 0,30 0,25 0,45
           
  a. Neem eerst aan dat Peter de eigen voorraad mengt met 15000 liter uit Oporto en 10000 liter uit Lissabon om zodoende 35000 liter te krijgen. Bereken dan het sulfietgehalte van het zo verkregen mengsel.
           
  Peter stelt de volgende eisen aan zijn mengsel:
• het sulfietgehalte moet minstens 7,5 mg/liter zijn.
• het alcoholpercentage mag ten hoogste gelijk zijn aan 10.
• het percentage kleurstof mag ten hoogste gelijk zijn aan 0,35.

Stel dat Peter de eigen voorraad mengt met een hoeveelheid x uit Oporto en een hoeveelheid y uit Lissabon (x en y in duizenden liters). Dan moeten de variabelen x en y behalve aan de voorwaarden x ≥ 0 en y ≥ 0  ook voldoen aan de volgende drie voorwaarden:

 
y - x  ≤ 5  6x - 5y  ≤  20   x + 2y  ≤   20
  b. Welke van deze voorwaarden volgt uit de eis over het sulfietgehalte? Licht je antwoord duidelijk toe.
           
  c. Teken het toegestane gebied.
           
  Peter wil zijn voorraad uitbreiden tot 24500 liter.
           
  d. Laat zien dat dat onder de genoemde voorwaarden niet mogelijk is.
     
5.

Het is bijna Pasen en kleine Jantje gaat met zijn nog kleinere broertje Keesje eieren kopen om te verven. Hij weet toevallig dat een boer in de buurt een grote voorraad van maar liefst 400 eieren te koop heeft tegen afbraakprijzen. De boer wil alleen de hele voorraad in ้้n keer verkopen. Jantje heeft helaas zelf helemaal geen geld. Hij kan een deel van de eieren doorverkopen aan Keesje die hem €0,20 per ei wil betalen. Ook zijn vriendje Pietje wil wel eieren van hem kopen, en die wil maar liefst €0,40 per ei geven. Pietje eist echter wel een minimum aantal eieren.
Verder wil Jantje, omdat hij de oudste thuis is, natuurlijk wel zelf minstens de helft hebben van het aantal eieren dat Keesje heeft.

Jantje noemt het aantal eieren dat hij zelf zal houden x, en het aantal eieren dat hij aan Keesje zal doorverkopen y.  Dan blijven er dus voor Pietje 400 - x - y eieren over. Jantje zit al in groep 3 en heeft dus al wat wiskunde-A in zijn pakketje. Hij tekent daarom snel het volgende toelaatbare gebied:

     
 

     
  a. Leid uit deze figuur af hoeveel eieren Pietje minstens wil hebben.
     
  Jantje is een gewiekste handelaar. Hij gaat met de boer afdingen. Hij wil namelijk graag,met het geld dat hij van Pietje en Keesje krijgt ook precies zijn benodigde verf kopen. Hij heeft uitgerekend dat het per ei €0,30 aan verf kost om het te verven.
Stel dat Jantje bij de boer een prijs p per ei weet te bedingen.
     
  b. Laat zien dat dan de volgende beperkende voorwaarde geldt:  2y + 7x ≤ 1600 - 4000p
     
  Deze vergelijking geeft voor elke p een andere grenslijn, dus een ander toelaatbaar gebied.
     
  c. Teken in bovenstaande figuur de grenslijn die hoort bij p = 0,05 en geef het nieuwe toelaatbare gebied aan.
     
6.

Het HHC wil ter gelegenheid van het 140-jarig lustrum een mooi lustrumboek laten verschijnen. Men vraagt uitgeverij Sikkema in Warffum om daarvan twee uitvoeringen te maken, te weten een paperback en een fraaiere gebonden uitgave. Van de gebonden uitgave besluit men hoogstens 7000 exemplaren te laten maken.
Sikkema heeft in de drukkerij een machine staan die binnen de gestelde termijn 36 dagen kan draaien. Duizend paperbacks vereisen 3 machinedagen en duizend gebonden exemplaren vereisen 4 machinedagen. De opslagruimte in de drukkerij is beperkt. Een gebonden boek neemt twee keer zoveel plaats is als een paperback, en er kunnen maximaal 8000 gebonden boeken (en dus maximaal 16000 paperbacks) worden opgeslagen.
Bovendien wil men tegen de overeengekomen prijs slechts hoogstens 11000 exemplaren vervoeren.

Stel dat men besluit x-duizend paperbacks en y-duizend gebonden boeken te maken.

Stel dan de beperkende voorwaarden bij dit probleem op en teken het toelaatbare gebied.

     
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1996.

Meubelfabriek ZFP heeft een volautomatische zaagmachine. Hiermee worden stoelzittingen uit platen van geperst en verlijmd hout gezaagd. De machine kan in drie standen zagen: langzaam, matig en snel. Als er sneller gezaagd wordt, kunnen er minder zittingen uit een plaat worden gemaakt. Zie de volgende tabel.

     
 
Verzagen van 1 plaat.
stand langzaam matig snel
zaagtijd per plaat in minuten 24 12 6
aantal zittingen per plaat 12 8 5
     
  De zaagmachine kan per week ten hoogste 34 uur gebruikt worden. De platen zijn afkomstig van een toeleveringsbedrijf. Dit bedrijf kan per week ten hoogste 180 platen leveren.
De platen kosten f 8,- per stuk.
Het zagen kost in elke stand f220,- per uur.
De totale fabricagekosten zijn de kosten van de gebruikte platen plus de kosten van het zagen.
Na het uitzagen van de zittingen zijn de restanten van de platen waardeloos.

In de huidige situatie worden er elke week 1320 zittingen gemaakt. Daarbij verzaagt men 20 platen per week in de stand 'langzaam' en 100 platen in de stand 'matig'. De dan nog ontbrekende zittingen worden gemaakt uit platen die in de stand 'snel' verzaagd worden.

     
  a. Bereken hoe hoog de wekelijkse totale fabricagekosten zijn.
     
  De bedrijfsleider van ZFP wil nagaan of de kosten met een ander zaagprogramma kunnen worden verminderd. De bedrijfsleider steltwel als eis dat er ook in de nieuwe situatie elke week precies 1320 zittingen worden gemaakt.
De bedrijfsleider gaat uit van een zaagprogramma waarin per week x platen in de stand 'langzaam',  y platen in de stand 'matig' en z platen in de stand 'snel' worden verzaagd.
     
  b. Verklaar waarom geldt:  z = 264 - 2,4x - 1,6y.
     
  c. Laat zien hoe uit het gegeven over de toelevering volgt: 7x + 3y ≥ 420
     
  Behalve 7x + 3y ≥ 420 en  x ≥ 0  en y 0 zijn er nog twee beperkende voorwaarden voor x en y uit de andere gegevens in de bovenstaande tekst af te leiden.
     
  d. Leid uit de andere gegevens in de bovenstaande tekst deze twee overige beperkende voorwaarden voor x en y af en herleid ze tot de vorm ax + by    c
     
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2000.

Mengvoerbedrijf MVB produceert en verkoopt onder andere konijnenvoer. De huidige voorraad konijnenvoer bedraagt slechts 10 ton (1 ton = 1000 kg). MVB vindt dit te weinig, maar is op dit moment niet in staat om zelf extra konijnenvoer te produceren. Het bedrijf wil daarom konijnenvoer van andere bedrijven inkopen en dat mengen met de eigen voorraad. Een bedrijf uit Leiden en een bedrijf uit Utrecht bieden konijnenvoer te koop aan.

Konijnenvoer bestaat uit alfalfa (ontkiemde zaadjes van de luzerne), graankorrels (bijvoorbeeld haver, ma๏s) en peulvruchten (bijvoorbeeld erwten, sojabonen). Verder worden vitaminen, mineralen en kleurstoffen toegevoegd. In de volgende tabel staan enkele gegevens over de samenstelling van het konijnenvoer van de drie bedrijven.

     
 
  voer van MVB voer uit Leiden voer uit Utrecht
gehalte vitamine A(in IE/kg) 8500 4500 10000
percentage alfalfa 30 40 44
percentage kleurstof 0,30 0,25 0,45
(IE = internationale eenheden)
     
  MVB stelt de volgende eisen aan het mengsel:
  • het gehalte vitamine A moet ten minste gelijk zijn aan 7500 IE/kg.
  • het percentage alfalfa mag ten hoogste gelijk zijn aan 36.
  • het percentage kleurstof mag ten hoogste gelijk zijn aan 0,35.
     
  Stel dat MVB de eigen voorraad van 10 ton konijnenvoer mengt met x ton voer uit Leiden en y ton voer uit Utrecht.
Uit de eisen die MVB stelt aan het mengsel volgen beperkende voorwaarden voor x en y. Deze voorwaarden staan hieronder in willekeurige volgorde:
     
 

y - x  ≤ 5          x + 2y ≤ 15          6x - 5y ≤ 20

     
  a. Welke van deze drie voorwaarden volgt uit de eis die MVB stelt aan het gehalte vitamine A in het mengsel? Licht je antwoord toe.
     
  b. Teken het toegestane gebied.
     
  MVB wil zijn voorraad uitbreiden door 22,5 ton door de eigen voorraad van 10 ton te mengen met voer van de bedrijven uit Leiden en Utrecht. Tegelijkertijd moet het mengsel aan de eerder genoemde eisen voldoen.
     
  c. Laat zien dat dit niet mogelijk is.
     
  Op het laatste moment komt er een fax binnen. Het bedrijf uit Leiden meldt dat men een fout gemaakt heeft bij de bepaling van het gehalte vitamine A. Die is hoger dan de eerder vermelde 4500 IE/kg. De percentages alfalfa en kleurstof zijn wel juist. Op grond van deze nieuwe informatie besluit MVB zijn voorraad uit te breiden tot 22,5 ton door de eigen voorraad van 10 ton te mengen met 10 ton uit Leiden en 2,5 ton uit Utrecht. Het hierdoor verkregen mengsel voldoet aan de gestelde eisen.
     
  d. Bereken hoe groot het gehalte vitamine A (in IE/kg) van het voer uit Leiden ten minste is.
     
   

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)