Synthetisch delen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
Synthetisch delen is een handig maniertje voor als je een polynoom moet delen door (x - p)  met p ťťn of ander getal.
(een polynoom ziet er uit als a + bx + cx2 + dx3 + .....)
       
       
Dat is er dus zo eentje.

Schrijf nu eerst de coŽfficiŽnten bij de machten van x op een rijtje neer van hoge macht naar lage macht.
Denk eraan dat een macht die mist eigenlijk coŽfficiŽnt NUL heeft.
In dit voorbeeld geeft dat het rijtje:   5    -1    0    6

Zet dat getal p ervoor, met voor de duidelijkheid een streep tussen p en de coŽfficiŽnten.
Dat geeft dus   4   5    -1    0    6

Het volgende schemaatje laat nu zien hoe ontzettend simpel synthetisch delen werkt.
Volg gewoon de pijlen!!!!

       
De rode pijlen staan voor het optellen van de getallen die onder elkaar staan.
De groene pijlen staan voor vermenigvuldigen met p (in dit geval 4).
Daar op de onderste rij vind je nu precies de coŽfficiŽnten van het antwoord, met op het eind de rest.
of ook :   5x3 - x2 + 6 = (x - 4) ē (5x2 + 19x + 76) + 310, dat is hetzelfde natuurlijk.
       
Voorbeeld.
Onderzoek of  2x6 - 3x5 + 4x3 - 6x2 - 10x - 20  nul oplevert als x = 2
Als dat zo is, dan is die formule deelbaar door (x - 2) dus moet er bij delen rest nul uitkomen:
Synthetisch delen:

Er komt inderdaad rest nul uit, dus de gegeven formule levert nul op bij x = 2.
       
Delen door "iets anders lineairs".
       
Als je moet delen door  x + p  dan schrijf je dat gewoon als  x - (-p) . Dus dan komt daar linksboven in het schema een negatief getal te staan. Verder niks aan de hand.
En als je moet delen door  bijvoorbeeld  2x - 4  dan zou ik dat schrijven als 2(x - 2)  en dan eerst delen door x - 2  en in het antwoord daarvan nog eens alles door 2.
       
Voorbeeld:    Deel  10x4 + 60x3 - 200x - 20  door   2x + 8
2x + 8 = 2(x + 4)
We delen daarom eerst alles door x + 4 = x - (-4). Dat geeft dit schema: 

 
Vervolgens delen we die coŽfficiŽnten 10, 20, 80, 120 en -500  allemaal nog door 2.
       
Waarom werkt dit?
Tja, daar moet je eigenlijk de les over staartdelingen voor doen. Daar is dit een speciale notatie van.
       
         
1. Voer de volgende delingen binnen ťťn minuut uit:
         
  a. Deel  x4 + 4x3 - 10  door  x - 1
  b. Deel   4x5 - 128  door  x - 2
  c. Deel  6x4 - 3x3 + 2x - 18  door x + 1
  d. Deel  3x3 + 8x2 - 20x - 100  door  3x - 12
         
2. Onderzoek binnen ťťn minuut  zonder GR of x = 5 een nulpunt is van de volgende functies:
         
  a. f(x) = 4x6 + 8x5 + 200x3 - 500x + 1800 
  b. g(x) = x5 - 10x4 + 5x3 - 200x2 + 7500
  c. h(x) = 2x4 - 12x3 + 20x2 - 250
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)