De symmetrieŽn van een vierkant

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
De allereerste vraag daarbij is "Hoeveel symmetrieŽn zijn er eigenlijk?"
Dat kun je ontdekken door naar de hoekpunten te kijken. Noem de hoekpunten ABCD, dan zijn er 4! = 24 mogelijke volgorden van die hoekpunten (aantal permutaties, weet je nog?). Betekent dat dat er dan ook 24 symmetrieŽn zijn?

Gelukkig niet.

Het zit hem erin dat de afstanden AC en BD (de diagonalen) langer zijn dan de zijden. Als bij de beeldfiguur de afstanden gelijk moeten blijven, dan mogen dus A en C en ook B en D niet naast elkaar komen te liggen.
       
ABCD   BACD   CABD   DABC
ABDC   BADC   CADB   DACB
ACBD   BCAD   CBAD   DBAC
ACDB   BCDA   CBDA   DBCA
ADBC   BDAC   CDAB   DCAB
ADCB   BDCA   CDBA   DCBA
Van de 24 permutaties blijven er nog maar 8 over.
Dat zijn:

ē  de identiteit I
ē  spiegelen in de lijnen 1, 2, 3, 4
ē  draaien over  90ļ, 180ļ, 270ļ

(Die symmetrieŽn had je natuurlijk ook wel meteen uit de tekening van het vierkant kunnen halen, maar ik wou even laten zien dat het aantal elementen vaak te maken heeft met permutaties; verderop daarover meer).
 
De 8 symmetrieeŽn van het vierkant vormen groep D4.
 
Ook hier is natuurlijk weer zo'n "na-elkaar-uitvoeren" tabel voor te maken.
Die zie je hiernaast
Denk eraan:  de bewerking in de kolom (vooraan) komt na de bewerking in de rij (bovenaan). Waarom dat van belang is? Nou, zoals je aan de tabel wel ziet geldt in deze groep de commutatieve eigenschap NIET! De tabel is niet symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal.
Zo is bijvoorbeeld  S1 o S2 = R270  en  S2 o S1 = R90.

Verder staat er op de hoofddiagonaal niet meer elke keer de I. Bij R90 en R270 niet. Dat betekent dat die niet orde 2 hebben. Ga zelf maar na dat ze zelfs orde 4 hebben.

Er is nog iets interessants met deze groep aan de hand. Bekijk bijvoorbeeld alleen de draaiing over 90ļ, R90, en de spiegeling in de x-as (S2)
o I S1 S2 S3 S4 R90 R180 R270
I I S1 S2 S3 S4 R90 R180 R270
S1 S1 I R270 R180 R90 S4 S3 S2
S2 S2 R90 I R270 R180 S1 S4 S3
S3 S3 R180 R90 I R270 S2 S1 S4
S4 S4 R270 R180 R90 I S3 S2 S1
R90 R90 S2 S3 S4 S1 R180 R270 I
R180 R180 S3 S4 S1 S2 R270 I R90
R270 R270 S4 S1 S2 S3 I R90 R180
Als je die herhaaldelijk gaat toepassen, krijg je alle andere symmetrieŽn, kijk maar:
R90 o S2 = S3
R90 o S3 = R90 o (R90 o S2) = S4,
R90 o S4 = (R90 o (R90 o (R90 o S2) = S1
S2 o S2 = I
R90 o R90 = R180
R180 o R90 = (R90 o R90) o R90 = R270

En zo hebben we al de andere symmetrieŽn samengesteld uit alleen maar S2 en R90. We zeggen daarom dat D4 wordt voortgebracht door S2 en R90.
       

D4 wordt voortgebracht door  S2 en R90

       
1. Door welke andere combinaties van twee symmetrieŽn wordt D4 nog meer voortgebracht?
         
       
Maar omdat dat zo is, kun je elke symmetrie uit de verzameling D4 ook wel schrijven als  R90i o S2j  (een aantal maal R90 en S2 na elkaar). Noem die twee basissymmetrieŽn even R en S (dus laat de 90 en 2 uit luiheid even weg), dan is elke symmetrie dus te schrijven als Ri o Sj . En die zijn razendsnel met elkaar te vermenigvuldigen.
Kijk maar:  
ē Ra o Rb  = Ra + b   waarbij a + b  modulo 4 gerekend mogen worden.
Klopt natuurlijk:  als je eerst b keer over 90ļ draait en daarna nog a keer, dan draai je in totaal a + b keer over 90ļ, en dat mag modulo 4, immers elke vier keer over 90ļ draaien levert niets op.
ē Sa o Sb = Sa + b   waarbij a + b  modulo 2 gerekend mogen worden.
Klopt natuurlijk:  elke twee keer spiegelen in dezelfde lijn levert samen niets op.
       
En ook als de S en R in een andere volgorde staan kun je ze snel verwisselen:
Omdat Ra o S een spiegeling is (kijk maar in de tabel), is de orde ervan 2, dus geldt  (Ra o S) o (Ra o S) = I

Pas nu beide kanten R-a toe:    R-a o (Ra o S) o (Ra o S) = S o (Ra o S) = R-a o I  = R-a
(Daar aan de linkerkant hebben de R-a en Ra  elkaar opgeheven).

Pas nu beide kanten nog een keer S toe:  S o (S o (Ra o S)) = Ra o S = S o R-a
(Daar aan de linkerkant hebben nu S en S elkaar opgeheven).
Dat geeft de verwisselregel:
       

Ra o S = S o R-a

       
Voorbeeld:  bereken  R2 o S o R o S o R-3 o R o S
R2 o S o R o S o (R-3 o R) o S = R2 o S o R o S o R-2 o S   (R samennemen)
R2 o S o R o (S o R-2) o S = R2 o S o R o (R2 o S) o S   (verwisselregel)
R2 o S o (R o R2) o (S o S) = R2 o S o R3   (R en S samennemen)
R2 o S o R3  = R2 o R-3 o S   (verwisselregel)
R-1 o S
R3 o S
       
Permutaties en Cykelnotatie.
       
We zagen hierboven al hoe je ook de 8 symmetrieŽn van het vierkant als een permutatie kunt opschrijven. Je kijkt gewoon welk hoekpunt wŠŠr terechtkomt. Dat gaf deze 8 mogelijkheden: 
ABCD, ADCB, BADC, BCDA, CBAD, CDAB, DABC, DCBA.

Door alleen aan te geven welke hoekpunten veranderen, en waar die terechtkomen kan het nog effectiever genoteerd worden. Neem bijvoorbeeld  ADCB. Daarin zijn A en C op hun plaats gebleven, en B en D verwisseld.
Dat geven we aan met (BD) en dat betekent:  B gaat naar D en D gaat naar B. Degenen die niet genoemd worden blijven automatisch op hun plaats. Dat tussen haakjes heet een cykel.  Vrij vertaald een "kringetje"; het geeft inderdaad aan hoe de punten in een kringetje achter elkaar aan draaien. Dus  (BAC) zou betekenen:  B gaat naar A, A gaat naar C en C gaat naar B (de laatste begint weer vooraan).

Dus  (ADC) zou betekenen:   A gaat naar D, D gaat naar C en C gaat naar A, en B blijft op zijn plaats.
Dus  (AD)(BC)  zou betekenen:  A gaat naar D en D gaat naar A, en B gaat naar C en C gaat naar B.

Deze laatste twee zijn uiteraard geen symmetrieŽn van het vierkant.....Dat had je hopelijk al wel gezien....
       
Hieronder zie je de verzameling van alle mogelijke permutaties van 4 hoekpunten (S4),  met daarin de deelverzamelingen V4 en D4 zie we tot nu toe al vonden aangegeven.
       

       
Je ziet dat V4 een deelverzameling van D4 is, en D4 weer van S4.
De elementen R en S die we hierboven gebruikten om de hele D4 voort te brengen zou je kunnen aan geven als  R = (BCDA)  en  S = (DCBA)
       
Een eigenschap van S4.
       
De hele verzameling S4 (alle permutaties) heeft ook een aardige eigenschap, en dat is, dat hij helemaal wordt voortgebracht door de transposities. Een transpositie is een verwisseling van twee hoekpunten met elkaar. Het blijkt dus dat je door alleen maar verwisselingen toe te passen elke permutatie kunt "maken".
Het bewijs daarvan is een sterk staaltje van volledige inductie, en moet je hiernaast maar lezen als het je interesseert.
     

S4 wordt voortgebracht door transposities.

       
Kunnen we ons iets voorstellen bij de hele groep S4?
Jazeker.
Als alle 24 permutaties mogelijk moeten zijn, dan moeten dus alle afstanden van de punten A, B, C en D gelijk zijn.
Dat kan bijvoorbeeld door de symmetrieŽn van het regelmatige viervlak hiernaast te bekijken.

Dan kun je nu eenvoudig aantonen door de stelling over de transposities hierboven te gebruiken. Een transpositie (verwisseling van twee hoekpunten) is van het viervlak altijd een symmetrie. Kijk bijvoorbeeld naar de transpositie (AB). Dat is hetzelfde als de figuur spiegelen in het middelloodvlak van AB (dat door C en D gaat)

       
Zo kun  je elke transpositie als een spiegeling in een middelloodvlak voorstellen. Dus elke transpositie is een symmetrie, dus alle 24 elementen van S4 zijn te maken (want die zijn allemaal te maken uit de transposities zei onze stelling immers....?  toch........??).
       
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)