© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De formule van Stirling.
       
In deze les is het de bedoeling om een idee te krijgen van hoe groot n! nou eigenlijk wordt als n heel groot wordt.
Hoe snel gaat dat???

Laten we gaan proberen om boven- en ondergrenzen voor n! te vinden.

Bovengrens.
Een bovengrens is vrij makkelijk te vinden
n! = n(n - 1)(n - 2) .....1  <  n • n • n ..... = nn 
Dat betekent dat  ln(n!)  <  ln(nn) = nln()n

Ondergrens.
Dat is ietsje lastiger, maar als je de oppervlakte onder de grafiek van grafiek van logx bekijkt, dan kom je misschien op een idee. Misschien ook niet, daarom zal ik even helpen.

De oppervlaktes van die rode rechthoekjes hiernaast zijn samen gelijk aan ln2 + ln3 + .... + ln(n)
Maar je ziet dat ze samen meer zijn dan de oppervlakte onder de grafiek van lnx tussen 1 en n

Maar die oppervlakte kun je met een integraal uitrekenen:
 

ln(n!)ln1 + ln2 + ln3 + ... + ln(n)  < nln(n) - n + 1

Voorlopige conclusie:
       

nln(n) - n + 1  <   ln(n!)  <  nln(n)

       
Deel nu deze ongelijkheid door nlogn:  dan krijg je   1 - 1/ln(n) + 1/nln(n)  <  ln(n!)/nln(n)  < 1
Als n naar oneindig gaat, dan gaat ook de linkerkant naar 1.
Dat betekent dat  ln(n!) ≈ n ln(n)
ln(n!) n ln(n)
       
Stirling kon het nσg beter!
       
Eerst even wat voorbereidend werk:

Maar voor ln(1 + x) is er een reeksontwikkeling: 

Laten we die toepassen op deze beide  ln-vormen:

Als k-1 een even getal is, dan heffen die twee delen elkaar op. Als k - 1 oneven is, dan versterken ze elkaar juist.
Dus we houden alleen nog de som over voor k  = 1, 3, 5, ..... en dan dubbel zo groot.

Daarmee is het voorbereidende werk klaar.

We definiλren nu het volgende:

De redenen daarvoor zullen straks blijken.
Spannend hι?

Dan geldt:

term voor term vereenvoudigen:
 

 

 

En nu weer samenvoegen:

De eerste en vierde term vallen tegen elkaar weg want  ln(1/x) = ln(x-1) = -lnx
De tweede en derde term kun je samennemen, dan blijft over:

Vergelijk dit met de reeksontwikkeling voor ln((n + 1)/n) van bovenaan.

Maar als je k = 0 neemt, dan komt er uit dat eerste deel precies 1, en die valt weg tegen die 1 daar achteraan.
Dus kun je net zo goed de som van k = 1 naar ∞ nemen en die -1 weglaten.
Verder wordt die  2(n + 1/2) precies gelijk aan 2n + 1 en valt weg tegen ιιn van die uit de noemer. Dus de macht wordt eentje lager:  2k  ipv 2k + 1:

Dat is groter dan nul, dus ons eerste resultaat is  dat  bn > bn + 1
 

bn  is een dalende rij

 
Maar omdat  1/(2k + 1)  kleiner dan 1 is, wordt de som groter als je die factor weglaat:

Daar staat nu precies de som van een meetkundige rij.

       
Bekijk nu  b1 - bn:
(b1 - bn) = (b1 - b2) + (b2 - b3) + (b3 - b4) + .... + (bn - 1 - bn)    (zoiets heet een telescooprij)

Dat betekent dat  bn > b1 - 1/4  
Dat betekent dat bn  een ondergrens heeft.
We hebben dus te maken met een dalende rij die niet onder een bepaalde ondergrens komt.
Dat nadert dus naar een constante waarde.

Maar als bn naar een constante waarde nadert, dan nadert ook  ebn  naar een constante waarde.
Noem die waarde a, dan geldt kennelijk:

       
Naar welke waarde a nadert dan?

Daarvoor hebben we eerst een beroemde formule van Wallis nodig:

Het bewijs daarvan staat hiernaast.

Laten we die per twee breuken ordenen:

Het aantal factoren tussen haakjes noemen we n. (Dus in het voorbeeld staan er n = 4 factoren)
We gaan nu teller en noemer vermenigvuldigen met  (2 • 2)(4 • 4)(6 • 6)(8 • 8) • .....   (evenveel factoren)
Dat geeft:

De teller:
Haal alle van elk getal in de teller een factor 2 buiten haakjes.  Dat zijn 2n • 2 = 4n factoren 2.
dan blijft over:  (1 • 1)•(2 • 2)• (3 • 3) • (4 • 4) • ... • (1 • 1)•(2 • 2)• (3 • 3) • (4 • 4) •  .... = (n!)4 
Dus de teller is gelijk aan  24n •  (n!)4

De noemer.
Daar staat nu:  1 •  2 •  2 •  3 •  3 •  4 •  4 •  5 •  5 •  6 •  6 •  7 •  7 •  8 •  8 •  9  =  ((2n)!)2 • (2n + 1)
(die laatste (2n + 1) dat is in dit geval die 9)

Vervangen:

Maar hierboven zagen we dat voor n naar oneindig geldt:

  

Weer vervangen dan maar:

 


Okι,  dus  a = √π

Dat geeft dan eindelijk de formule van Stirling:
       

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)