h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De formule van Stirling.
       
In deze les is het de bedoeling om een idee te krijgen van hoe groot n! nou eigenlijk wordt als n heel groot wordt.
Hoe snel gaat dat???

Laten we gaan proberen om boven- en ondergrenzen voor n! te vinden.

Bovengrens.
Een bovengrens is vrij makkelijk te vinden
n! = n(n - 1)(n - 2) .....1  <  n n n ..... = nn 
Dat betekent dat  log(n!)  < log(nn) = nlogn

Ondergrens.
Dat is ietsje lastiger, maar als je de oppervlakte onder de grafiek van grafiek van logx bekijkt, dan kom je misschien op een idee. Misschien ook niet, daarom zal ik even helpen.

De oppervlaktes van die rode rechthoekjes hiernaast zijn samen gelijk aan log2 + log3 + .... + logn
Maar je ziet dat ze samen meer zijn dan de oppervlakte onder de grafiek van logx tussen 1 en n

Maar die oppervlakte kun je met een integraal uitrekenen:
 

logn!log1 + log2 = log3 + ... + logn  < nlogn - n + 1

Voorlopige conclusie:
       

nlogn - n + 1  <   log(n!)  <  nlogn

       
Deel nu deze ongelijkheid door nlogn:  dan krijg je   1 - 1/logn + 1/nlogn  <  log(n!)/nlogn  < 1
Als n naar oneindig gaat, dan gaat ook de linkerkant naar 1.
Dat betekent dat  log(n!) ≈ n logn
log(n!) n logn
       
Stirling kon het nog beter!

rest volgt...
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)