Sinusoïden.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
We hebben ooit ZES regels geleerd die beschrijven hoe grafieken veranderen als formules veranderen. Hier zijn ze nog een keer:
de formule: de grafiek:
1.  hele formule + a. grafiek schuift a omhoog.
2.  x vervangen door x - a. grafiek schuift a naar rechts.
3.  hele formule × a. afstand tot de x-as a keer zo groot.
4.  x vervangen door  ax. afstand tot de y-as  1/a keer zo groot.
5.  min voor de hele formule spiegelen in de x-as.
6.  x vervangen door -x. spiegelen in de y-as.
We bekijken vijf van deze zes regels nog eens nauwkeurig, nu toegepast op een sinusgrafiek.
1.  Hele formule × b. 
Dat geeft  
y = bsinx.
De afstand tot de x-as wordt b keer zo groot. Dat betekent dat de amplitude gelijk is aan b

2.  x vervangen door cx. 
Dat geeft  
y = b sin(cx).
De afstand tot de y-as wordt  1/c keer zo groot. Dat betekent dat de periode 1/c keer zo groot wordt, en die was 2p dus die wordt  1/c • 2π = 2π/c

3.  x vervangen door x - d. 
Dat geeft  
y = bsin(c(x - d))
De grafiek schuift d naar rechts. Dat betekent dat het beginpunt gelijk wordt aan x = d

4. Een minteken voor de hele formule.
Dat geeft  
y = - bsin(c(x - d))
De grafiek wordt gespiegeld in de x-as.

5.  De hele formule + a.
Dat geeft  
y = a - bsin(c(x - d))
De grafiek schuift a omhoog.
Dat betekent dat de evenwichtslijn de lijn y = a wordt. 

samengevat:

Om op te letten:
a Geeft de evenwichtslijn aan. Als a negatief is, betekent dat dat de grafiek omlaag geschoven is.
a kan vooraan maar ook achteraan de formule staan.
Bijvoorbeeld:  3 + 2sin(x - 5)  is hetzelfde als  2sin(x - 5) + 3
± + betekent niet spiegelen in de evenwichtslijn, - betekent wel spiegelen in de evenwichtslijn. Voor sinusgrafieken betekent spiegelen, dat de grafiek vanaf het beginpunt eerst omlaag gaat in plaats van omhoog. Voor cosinusgrafieken betekent spiegelen dat de grafiek onderaan begint in plaats van bovenaan.
b De amplitude. Dat is de afstand van een top tot de evenwichtslijn.
c De nieuwe periode wordt  2π/c. Denk erom dat deze c buiten haakjes moet staan. 
Dus moet je eerst bijv.  sin(2x + 6) veranderen in  sin(2(x + 3)) 
d Als er staat x - d  dan is het beginpunt x = d  en als er staat x + d dan begint de grafiek bij x = -d
Een sinusgrafiek begint op de evenwichtslijn, een cosinusgrafiek begint bovenaan (of onderaan als hij is gespiegeld).
Vertrouw je eigen verstand, niet je rekenmachine!!!
PLOT op je rekenmachine (radialen) de grafieken van  y = sin(47x) en y = sin(48x) en y = sin(49x) met WINDOW 
Xmin = -2p, Xmax = 2p, Ymin = -2, Ymax = 2
Leg uit waarom de grafieken die je krijgt niet kunnen kloppen!

Hûh??
Hoe kan dat?
 
   
  OPGAVEN
1. Schets één periode van de grafiek van de volgende functies:
a.  y = sin0,5(x - π) . d. f(x) =  -1/3cos(2x + 1/2π)
b. y = 2cos3x - 4 e. f(x) = 5 + 3sin(x - 2)
c. f(x) = 6 - 2cos(2(x + 1/4π) f. y = 3 - 2sin(x + 1/3π)
2. Hieronder staan 4 sinusoïden.
Geef bij elke grafiek een mogelijke formule met sinus, en ook eentje met cosinus.

3. De originele boekklok hiernaast heeft een uurwijzer, een minuten wijzer en een secondewijzer.
Deze wijzers zitten vast in een draaipunt P dat op 15 cm vanaf de bodem zit. 
De lengte van de uurwijzer is 10 cm, van de minutenwijzer 13 cm en van de secondewijzer 14 cm.

We bekijken in deze opgave de hoogte H  (in cm vanaf de bodem) van het uiteinde van een wijzer als functie van de tijd t (in uren).

Op t = 0 is het precies drie uur.

Geef een formule voor H(t) voor elk van de drie wijzers.
4. De planeet Mars heeft twee kleine maantjes; Phobos en Deimos. Ze draaien in een cirkelbaan rond Mars, maar vanaf de aarde zien we ze ongeveer in een rechte horizontale lijn heen en weer bewegen (we verwaarlozen de relatieve beweging van de aarde ten opzichte van Mars).
De afstand rechts van Mars noemen we positief, links negatief.
De afstand van  Phobos tot het middelpunt van Mars is 6500 km en Phobos draait in 7 uur rond Mars.
Op t = 0  staat Phobos helemaal rechts van Mars.
a. Geef een formule voor de afstand (A) van Phobos tot Mars.
Voor Deimos geldt  A(t) = 24000 • cos(0,209(t - 12))
Daarbij is A in km en t in uren.

b. In hoeveel tijd draait Deimos om Mars?
   

30 uur
c. Hoe ver staat Deimos van het middelpunt van Mars?
   

24000 km
d. Wanneer zien we Deimos en Mars op één plek?
   

t  ≈ 10,55
  e. Wanneer zien we Deimos en Phobos voor het eerst na t = 0 op één plek?
 

t ≈3,22
         
         
5. Een slak zit op een oude draaiende grammofoonplaat.  Hieronder zie je dat schuin van boven gezien, en ook een zijaanzicht.
         
 

         
 

De doorsnede van de plaat is 35 cm, en we beschouwen in deze opgave het punt P waar het midden van de slak de plaat raakt. Op t = 0 bevindt de slak zich aan de rechterkant op afstand 11 cm vanaf het midden M, dus PM = 11. De plaat is een 33-toeren plaat, dat betekent dat hij per minuut 33 omwentelingen maakt.

In het zijaanzicht  zien we de slak heen en weer gaan. Als we de afstand van P tot M gelijk aan x noemen (links negatief, rechts positief) dan blijkt te gelden:    x(t) = 11 • sin3,46(t  - 1,36)  (t in seconden)
         
  a. Schets de grafiek van x(t), en leg daarmee duidelijk uit waar de getallen 3,46 en 1,36 uit de formule vandaan komen.
         
  b. Welk getal uit de formule zal veranderen als de slak naar het midden van de plaat toe kruipt? Hoe verandert dat getal?
         
  c. Welk getal uit de formule zal veranderen als de slak gaat meekruipen in de draairichting van de plaat? Hoe verandert dat getal?
         
  d. Welk getal uit de formule zal veranderen als de plaat de andere kant op zou draaien? Hoe verandert dat getal?
         
         
6. Onze stopcontacten leveren een spanning van 220V.

Maar eigenlijk bestaat ons elektriciteitsnet uit drie fasedraden; de R-draad, de S-draad en de T-draad.
Deze draden geven elk een sinusvorm met amplitude 220V, maar ze zijn ten opzichte van elkaar telkens één-derde periode versprongen.

Wanneer we deze sinussen apart afzetten tegen de nuldraad hebben we een spanningsverschil lopend tussen de -220 en de +220 Volt.

Gaan we deze sinussen tegen elkaar afzetten, bijvoorbeeld door het spanningsverschil tussen de R- en de S-fase te meten, dan krijgen we door het verspringen van de sinussen ten opzichte van elkaar te maken met een nieuwe sinusvorm die zijn maxima tussen de -380 en de +380 Volt heeft.
Dat heet krachtstroom.

Die 380 Volt is een afgeronde waarde.
Bepaal met je GR deze waarde in twee decimalen nauwkeurig.
       

381,05
         
7. Hiernaast zie je in één figuur twee grafieken . Zij geven weer hoeveel werkverkeer en hoeveel vrijetijdsverkeer er op een bepaald kruispunt passeerde (in aantallen auto's).
Er is elk uur gemeten en zoals je ziet kunnen de grafieken prima worden beschreven door twee sinusoïden.
       
  a. Geef vergelijkingen van die twee sinusoïden.
       
  b. Dit kruispunt kan maximaal 500 auto's per uur verwerken. Onderzoek of die maximale totale verkeersdrukte overschreden wordt of niet.
       
         
8. In een ziekenhuis wordt onderzoek gedaan naar de longinhoud van patiënten en hun ademhaling. Na enig onderzoek blijkt dat de hoeveelheid lucht (L in dm3) die in de longen zit als functie van de tijd (t in sec) een sinusverloop heeft.
Bij een proefpersoon blijken de longen bij volledige inademing 4,5 dm3 lucht te bevatten en bij volledige uitademing is er nog 0,5 dm3 achtergebleven in de longen.
Deze proefpersoon ademt per minuut 20 keer in en uit.
Op tijdstip  t = 0 bevinden de longen zich in volledig uitgeademde toestand.
         
  a. Geef een functievoorschrift van L als functie van t.
         
  b. Hoeveel seconden duurt het vanaf t = 0 totdat er 1,5 dm3 lucht in de longen zit?
       

0,5 sec
  De proefpersoon gaat nu op een hometrainer zitten en fietsen, waardoor zijn ademhalingsritme oploopt tot 35 keer per minuut. Zijn maximale en minimale longinhoud veranderen niet.
         
  c. Geef een nieuw functievoorschrift voor L(t).  Neem weer L(0) = 0,5.
         
9. Een sinusgrafiek heeft een maximum bij (2,4) en een minimum bij (5,-2)
Bereken het snijpunt met de y-as.

Geef twee verschillende mogelijkheden.
       

-0.5, -1.82
         
10. Een metalen staaf is bovenaan bevestigd aan een vast ophangpunt. Aan de staaf hangt een massa waarvan de hoogte kan worden geregeld. De staaf kan uit zijn evenwichtspositie gebracht worden en slingert rond zijn verticale evenwichtspositie. De uitwijking (u) kan afgelezen worden op een cm-schaal. Voor kleine hoekuitwijkingen is dit een sinusgrafiek. Een uitwijking naar links noemen we negatief, naar rechts positief.

 
  Daarin is T de periode in seconden, L de lengte vanaf de bovenkant tot het gewicht (in meter), en g de zwaartekrachtsversnelling (9,81)
         
  Geef in de volgende gevallen een formule voor de uitwijking (u) als functie van de tijd (t):
         
  a. L = 40 cm, en op t = 0 laat men de slinger vanaf de uiterste stand 8 cm rechts van het midden los.
         
  b. L = 50 cm, en op t = 0 gaat de slinger net door zijn evenwichtsstand naar links,
met als uiterste uitwijking u = 10 cm.
         
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)