De simplex-methode.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Misschien is het handig als je de les over de randwandelingen eerst leest.....

Deze les gaan we dat randwandelen automatiseren. 
Neem het volgende voorbeeld:
         
    Voor een feestavond op school gaat de feestcommissie zelf cocktails maken.  Om het eenvoudig te houden gaan ze twee soorten cocktails maken uit de basisdranken wodka en sinaasappelsap en champagne.
Dit zijn  de twee cocktails:
         
   

         
    De hoeveelheden zijn in cl.
Men heeft een hoeveelheid van  11 liter wodka en 12 liter sinaasappelsap en  15 liter champagne in voorraad.
Hoeveel cocktails kan men maximaal maken?
         
    De oplossing is eenvoudig:

Stel dat we S (sweet orange) en H (heavy breeze) cocktails gaan maken.

sinaasappelsap:  15S + 5H  ≤  1200
wodka:  5S + 10H ≤ 1100
champagne:  15S + 10H ≤  1500

Doelstellingsfunctie:  D = S + H  maximaliseren 

 

Dat geeft het toelaatbare gebied hiernaast, en een randwandeling levert het maximale aantal van 130 cocktails in punt P  (40 sweet orange en 90 heavy breeze).

En daarmee is de randwandeling ten einde.

         
   

         
Laten we dit proces gaan automatiseren....
         
Daarvoor introduceren we eerst drie nieuwe variabelen, die aangeven hoeveel er NIET gebruikt wordt.  Stel: 

   x
= ongebruikte centiliters sinaasappelsap.
   y =
ongebruikte centiliters wodka.
   z = ongebruikte centiliters champagne.

Deze variabelen heten spelingsvariabelen  (engels:  slack variables).
Dat heeft het grote voordeel dat we bovenstaande ongelijkheden kunnen veranderen in vergelijkingen, kijk maar:
         
    D  -  S  -  H  = 0
15S + 5H + x  = 1200
5S + 10H + y = 1100
15S + 10H + z = 1500

(met de aantekening dat alle variabelen, S, H, x, y, z groter of gelijk aan nul moeten zijn)
         
Het voordeel?
vergelijkingen kun je bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken
         
We zoeken dus een oplossing voor dit stelsel van 4 vergelijkingen. Omdat er meer variabelen dan vergelijkingen zijn, zijn er natuurlijk oneindig veel oplossingen, maar we zijn op zoek naar degene waarbij D maximaal is.
         
Stel nu dat we beginnen met de situatie dat  S = H = 0, en dus x = 1200, y = 1100 en z = 1500
Al deze gegevens (vergelijkingen en beginwaarden) kunnen we als volgt in een zogenaamd simplex-tableau zetten  (klinkt gewichtig, maar is niets anders dan een overzichtelijke tabel):
         
   
tableau 1
basis D S H x y z rechts
D 1 -1 -1 0 0 0 0
x 0 15 5 1 0 0 1200
y 0 5 10 0 1 0 1100
z 0 15 10 0 0 1 1500
         
Ik hoop dat je ziet dat daar gewoon die vier vergelijkingen nog een keer staan.
De variabelen in de eerste kolom heten de basisvariabelen, en dat zijn de variabelen die in de gegeven situatie NIET nul zijn (dus alle variabelen die niet in de eerste kolom staan zijn nul).

We  begonnen in de situatie  S = H = 0, en  x = 1200, y = 1100, z = 1500. Dat komt overeen met hoekpunt (0,0) in het toelaatbare gebied. Er zijn nog geen cocktails genmaakt; en dat kun je ook zien aan die rode nul van het simplex-tableau  (rechts in de D-vergelijking staat nul).
         
Ok, tot zover nog niet veel speciaals gebeurd.

Maar nu gaan we die eigenschap van vergelijkingen (dat je ze kunt combineren) op een handige manier gebruiken.

Kijk eens naar die bovenste vergelijking van tableau 1. 
Daar staat  D - S - H = 0
Die nul staat daar nogal sneu aan de rechterkant. Maar als we nou die S of die H groter maken  (basisvariabele gaan maken) dan wordt D groter.

Als we S groter gaan maken, dan wandelen we als hert ware in ons toelaatbare gebied van de oorsprong naar rechts.
Merk op dat, als je de waarden rechts in de S-kolom deelt door de overeenkomstige getallen in de S-kolom zelf, je precies de punten op de S-as in het toelaatbare gebied krijgt.
 
tableau 1
basis D S H x y z rechts  
D 1 -1 -1 0 0 0 0
x 0 15 5 1 0 0 1200 1200/15 = 80
y 0 5 10 0 1 0 1100 1100/5 = 220
z 0 15 10 0 0 1 1500 1500/15 = 100

 

We kiezen nu de kleinste niet-negatieve van die drie  (want we mogen niet buiten het toelaatbare gebied komen), in dit geval de 80.
Het bijbehorende element uit de S-kolom is 15, en dat noemen we het pivot-element  (draai-element):

         
tableau 1
basis D S H x y z rechts
D 1 -1 -1 0 0 0 0
x 0 15 5 1 0 0 1200
y 0 5 10 0 1 0 1100
z 0 15 10 0 0 1 1500
         
Door handig vergelijkingen (rijen) te combineren gaan we nu proberen de S-kolom te veranderen in 0 - 1 - 0 - 0
Deel de tweede rij door 15:
         
tableau 1
basis D S H x y z rechts
D 1 -1 -1 0 0 0 0
x 0 1 1/3 1/15 0 0 80
y 0 5 10 0 1 0 1100
z 0 15 10 0 0 1 1500
         
Tel deze tweede rij  bij de bovenste op:
         
tableau 1
basis D S H x y z rechts
D 1 0 -2/3 1/15 0 0 80
x 0 1 1/3 1/15 0 0 80
y 0 5 10 0 1 0 1100
z 0 15 10 0 0 1 1500
         
Trek de tweede rij 5 keer van de derde af:
         
tableau 1
basis D S H x y z rechts
D 1 0 -2/3 1/15 0 0 80
x 0 1 1/3 1/15 0 0 80
y 0 0 25/3 -1/3 1 0 700
z 0 15 10 0 0 1 1500
         
Trek de tweede rij 15 keer van de onderste af:
         
tableau 1
basis D S H x y z rechts
D 1 0 -2/3 1/15 0 0 80
x 0 1 1/3 1/15 0 0 80
y 0 0 25/3 -1/3 1 0 700
z 0 0 5 -1 0 1 300
         
Bedenk goed dat hier nog steeds vier geldige vergelijkingen staan!!
De tweede rij (pivot-rij) geeft nu de vergelijking  S + 1/3H  + 1/15x = 80
Maar omdat die S in de andere vergelijkingen niet meer voorkomt, kun je nu ook S wel als basisvariabele schrijven.

We draaien als het ware S en x.  Dat geeft dan tableau 2:
         
tableau 2
basis D S H x y z rechts
D 1 0 -2/3 1/15 0 0 80
S 0 1 1/3 1/15 0 0 80
y 0 0 25/3 -1/3 1 0 700
z 0 0 5 -1 0 1 300
         
Merk alsjeblieft op dat er door dat draaien niets aan de vergelijkingen is veranderd.
In het toelaatbare gebied is er het volgende gebeurd:
         

Welke kolom?
We kozen ervoor om vanaf (0, 0) de variabele S te laten toenemen, dus zijn we opzij gewandeld naar het volgende hoekpunt van het toelaatbare gebied. Zo zijn we aangeland in punt (80,0) met D = 80  (rechtsboven in het simplex tableau)
Als we in het begin voor de H-kolom in plaats van de S-kolom hadden gekozen dan waren we omhoog gewandeld naar het punt  (0, 110), dat snap je vast wel.
Het is het handigst om de kolom te kiezen met het grootste negatieve getal in de D-rij, want dan neemt D het snelst toe. In ons geval waren beiden -1, dus maakte het niet uit.

Hoe verder?
In de bovenste rij zien we nu nog steeds een negatief getal -2/3 in de H-kolom staan.  Dat betekent dat we D nog groter kunnen maken. Deel de kolom rechts door de cofficinten uit de H-kolom en je krijgt:
         
tableau 2
basis D S H x y z rechts  
D 1 0 -2/3 1/15 0 0 80
S 0 1 1/3 1/15 0 0 80 80/1/3 = 240
y 0 0 25/3 -1/3 1 0 700 700/25/3 = 84
z 0 0 5 -1 0 1 300 300/5 = 60
         
Het kleinste niet-negatieve getal is 60, dus we kiezen het onderste element uit de H-kolom als nieuw pivot-element.
Op dezelfde manier als hierboven gaan we nu de H-kolom veranderen in  0 - 0 - 0 - 1, zodat we H en z kunnen gaan draaien. Ik geef niet alle tussenstappen, maar direct tableau 3, met H en z gedraaid:  
         
tableau 3
basis D S H x y z rechts
D 1 0 0 - 1/15 0 2/15 120
S 0 1 0 2/15 0 -1/3 60
y 0 0 0 4/3 1 -5/3 200
H 0 0 1 -1/5 0 1/5 60
         
Het nieuwe aantal cocktails is 120. We zien aan de basisvariabelen van de eerste kolom dat alleen de hoeveelheid y nog niet volledig is benut. Verder zien we in de S-rij en H-rij dat de hoeveelheden S en H op het moment gelijk zijn aan 60 en 60.
         

         
In het toelaatbare gebied zijn we intussen gewandeld naar punt Q. Aan het feit dat we in Q nog onder de grenslijn zitten die van 110 naar 220 loopt kun je trouwens ook zien dat de y-hoeveelheid nog niet volledig is benut.
Ok:  de bovenste rij in  tableau 3 laat zien dat er nog een negatief getal bij x staat, dus D kan nog verder vergroot worden.
         
tableau 3
basis D S H x y z rechts  
D 1 0 0 - 1/15 0 2/15 120
S 0 1 0 2/15 0 -1/3 60 60/2/15 = 450
y 0 0 0 4/3 1 -5/3 200 200/4/3 = 150
H 0 0 1 -1/5 0 1/5 60 60/-1/5 = -300
         
Het pivot-element wordt het derde element uit de x-kolom. Dat is het kleinste niet-negatieve getal in die gele kolom.
Dat geeft het volgende tableau:
         
tableau 4
basis D S H x y z rechts
D 1 0 0 0 1/20 7/60 130
S 0 1 0 0 -1/10 1/6 40
x 0 0 0 1 3/4 -5/4 150
H 0 0 1 0 3/20 -1/4 90
         
En nu zijn we klaar:  de bovenste rij bevat alleen nog maar positieve getallen, dus de waarde van D kan niet verder vergroot worden. We zien uit dit laatste tableau dat  S = 40 en H = 90 en  D = 130
Verder zien we dat van de x-hoeveelheid  nog 150 cl ongebruikt is, dus we houden 1,5 liter sinaasappelsap over. 
15S + 5H = 15 40 + 5 90 = 1050 en dat is inderdaad 150 onder de maximale 1500 cl sinaasappelsap.
Dat hoort allemaal bij punt P in het toelaatbare gebied.
         

         
Je kunt je voorstellen dat dit typisch een werkje is voor een computerprogramma. Hier volgt een stroomschema voor zo'n programma. Het vat meteen nog eens samen wat we nou allemaal gedaan hebben.
         

         
         
  OPGAVEN
         
1. examenvraagstuk Wiskunde A, VWO, 1983.
         
  Een bedrijf maakt vier modellen vliegtuigjes. Er worden twee uitvoeringen van een sportvliegtuig gemaakt: de Super (S) en de Economy (E). Daarnaast worden er twee versies gemaakt van een zweefvliegtuig: n echt zweefvliegtuig, de Zwever (Z), en n met hulpmotor: de Motorzwever (M).

Het schema voor de productie staat in de figuur hieronder. Daaruit blijkt onder anderen dat er naast het onderdelenmagazijn 5 productiehallen zijn die alle een maximale capaciteit hebben. Zo heeft hal I een productiecapaciteit van 10000 uur.
De productietijden per model per hal staan ook in het schema vermeld: bijvoorbeeld het in elkaar zetten van een 'Economy' 40 uur.
Tenslotte is ook de winst af te lezen uit het schema: bij de 'verkoop' blijkt de winst op een 'Super'  f 6000,- te bedragen.
         
 

         
  a. Stel een simplex-tableau op voor de berekening van de maximale winst (Je hoeft de berekening zelf niet uit te voeren).
         
  De berekening wordt door een computer uitgevoerd. De laatste drie tableaus die de computer levert zien er als volgt uit (1e kolom: Super, 2e kolom: Economy, 3e kolom: Motorzwever, 4e kolom: Zwever):

het simplex tableau ziet er z uit:
         
 
0.00
0.00
0,00
1.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
25.00
0.00
0.00
2.00
3.00
0.03
1.65
-0.06
0.00
0.04
0.08
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-1.50
0.05
0.00
-0.15
-0.19
-0.08
-1.50
0.05
0.07
-0.20
-0.17
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
62.50
3425.00
52.50
150.00
480.00
-1409.38
  De waarde van de doelstellingsfunctie is 1409.38
   
  het simplex tableau ziet er z uit:
 
0.00
0.00
0,00
1.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.03
0.07
-0.06
0.00
-0.09
-0.12
0.00
0.04
0.00
0.00
-0.08
-0.12
0.00
-0.06
0.05
0.00
-0.03
0.00
-0.08
-0.06
0.05
0.07
-0.08
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
62.50
137.00
52.50
150.00
206.00
-1820.38
  De waarde van de doelstellingsfunctie is 1820.38
         
  het simplex tableau ziet er z uit:
 
0.00
0.00
0,00
1.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.67
1.20
20.00
-1.33
1.60
-0.18
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-0.07
0.00
-1.10
0.07
-0.18
-0.11
0.00
0.04
0.00
0.00
-0.08
-0.12
0.08
0.00
1.00
-0.07
0.05
-0.02
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
150.00
200.00
1050.00
80.00
290.00
-1830.00
  De waarde van de doelstellingsfunctie is 1830.00
De optimale oplossing is nu gevonden.

Aan de hand van deze tableaus moeten de directeuren een beslissing nemen over de te produceren aantallen toestellen.
De ene directeur (A) wil per se het productieschema uitvoeren dat tot maximale winst leidt. De andere directeur (B) oppert de mogelijkheid om te produceren volgens het middelste tableau: de winst is wat minder, maar alle vier modellen worden geproduceerd.

         
  a. Bepaal aan de hand van de simplex-tableaus hoeveel stuks er van ieder model gemaakt moeten worden, als directeur A zijn zin krijgt en hoeveel als directeur B zijn zin krijgt.
         
  b. Bepaal bij ieder van de onder b) genoemde productiemogelijkheden de gemiddelde winst per vliegtuig.
         
         

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)