scheiden van variabelen


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Scheiden van Variabelen.

Deze methode kun je proberen te gebruiken bij lineaire homogene partiële differentiaalvergelijkingen.
Laten we aannemen dat we zo'n vergelijking voor de functie f(x, t) hebben. x stelt de plaats voor (kan 1- 2- of 3-dimensionaal zijn) en t de tijd.
We maken nu een gedurfde aanname: Stel dat we die functie f kunnen splitsen in een plaatsdeel P(x) en een tijdsdeel T(t) op deze manier:

Stel dat f(x, t) = P(x) • T(t)

We proberen als het ware het ruimtedeel en het tijdsdeel van de vergelijking van elkaar te scheiden. Dan kun je proberen die P • T voor f in te vullen en dan die P en T delen apart te krijgen.

Voorbeeld.

Neem de grensvoorwaarden f(x, 0) = g(x) en f(0, t) = 0
Invullen van de poging f(x, t) = P(x) • T(t) geeft dan:

Maar daar staan alleen nog maar gewone afgeleiden in, geen partiële meer!
Daar staan gewoon P(x) • T'(t) = c • T(t) • P''(x).
Daarin kun je makkelijk die x en t van elkaar scheiden:

Ik hoop dat je je realiseert dat hier iets raars staat! Daar staat aan de ene kant een deel dat alleen van x afhangt, en aan de andere kant een deel dat alleen van t afhangt. En toch moeten die delen altijd gelijk zijn!!!! Dus als je een x aan de linkerkant invult en een t aan de rechterkant (die niks met x te maken heeft!) dan komt er toch hetzelfde uit.

Dat lijkt natuurlijk onmogelijk,

Maar toch is er een manier.........

En dat is natuurlijk:
Als die beide delen constant zijn en gelijk aan elkaar!!!!!

Stel die constante voorlopig maar gelijk aan a, dan geeft dat dus ¹/_P • P'' = a en ¹/_cT • T ' = a

(rest volgt)