RISK kansrekening


RISK	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Risk is een bordspel waarbij je met een aantal legers van jezelf de legers van een tegenstander moet verslaan.
Bij een aanval staan er twee legermachten tegenover elkaar waarbij er eentje de aanvaller is (A) en eentje de verdediger (V).

A gooit eerst met 3 dobbelstenen en kiest uit zijn worp de hoogste twee aantallen.

Daarna mag V kiezen of hij met 1 of met 2 legers verdedigt.

Als hij met 1 leger verdedigt gooit hij 1 dobbelsteen, en dat aantal ogen vergelijkt hij met het hoogste aantal van A. Als dat aantal van A meer is, verliest V 1 leger. Als het aantal van A gelijk of minder is, dan verliest A 1 leger.

Als hij ervoor kiest met 2 legers te verdedigen gooit hij 2 dobbelstenen.
Zijn hoogste aantal wordt vergeleken met het hoogste van de aanvaller, en zijn tweede aantal met het tweede van de aanvaller. Daarbij geldt elke keer weer: als A hoger is verliest V een leger, anders verliest A een leger.
Als A bijvoorbeeld 5-3 gooit, en V gooit 4 -3 dan wordt 5 met 4 vergeleken (A wint) en 3 met 3 (V wint). Beiden verliezen één leger en de netto winst voor V is dus 0.

Bij gelijke aantallen wint de verdediger.

Daar werken twee dingen elkaar tegen;
• V heeft het voordeel dat hij eerst mag kijken wat A heeft gegooid voordat hij beslist met 1 of 2 dobbelstenen te gooien.
• Bij gelijke aantallen wint V.
• A heeft 3 dobbelstenen en V maar 2.

De vragen zijn nu natuurlijk:

Wanneer moet V met 2 dobbelstenen gooien?

Is dit spel in het voordeel van A of van V?

Voor de hoogste twee ogen van een worp van 3 dobbelstenen (de worp van A) zijn er 21 mogelijkheden.

(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(3,2)(3,2)(3,1)(2,2)(2,1)(1,1)

Etappe 1.

Laten we de kans op elk van die mogelijkheden eerst berekenen.

Voorbeeld: Hoe groot is de kans op (5,3) als hoogste twee?

In totaal zijn er 6³ = 216 mogelijke worpen met 3 dobbelstenen.

(5,3) zijn de hoogsten als er is gegooid (5, 3, 3) of (5,3,L) waarbij L een lagere dan 3 is.
• (5,3,3) kan op 3 manieren (immers de 5 kan als eerste, tweede of derde staan)
• (5,3, L) kun je rangschikken op 3! = 6 manieren maar die L kan nog 2 dingen zijn (1 of 2 ogen), dus totaal 12 manieren

Dat betekent dat (5,3) de hoogste 2 zijn in 3 + 12 = 15 van de 216 manieren. De kans erop is dus ¹⁵/₂₁₆.

Vul de volgende tabel in. Daarin staan de hoogste twee ogen van een worp van 3 dobbelstenen, en de kans daarop.

worp	(6,6)	(6,5)	(6,4)	(6,3)	(6,2)	(6,1)	(5,5)	(5,4)	(5,3)	(5,2)
kans									¹⁵/₂₁₆

worp	(5,1)	(4,4)	(4,3)	(4,2)	(4,1)	(3,3)	(3,2)	(3,1)	(2,2)	(2,1)	(1,1)
kans

Controleer nu eerst of de som van alle kansen wel gelijk is aan 1.

Etappe 2.

In deze etappe gaat het om de beslissing van V. Moet hij met 1 of met 2 legers verdedigen?
Neem bijvoorbeeld het geval dat A als hoogste twee getallen 4 - 3 heeft gegooid.

Stel dat V dan met één dobbelsteen/leger besluit te verdedigen.
Dan geldt voor hem de volgende tabel:

aantal ogen	1	2	3	4	5	6
kans	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6
aantal legers winst/verlies	-1	-1	-1	+1	+1	+1

De laatste rij geeft het aantal gewonnen legers ten opzichte van A (dus als A er eentje verliest telt dat voor V als +1)
In de laatste rij zie je dat de gemiddelde winst voor V gelijk zal zijn aan 0.

Hoe is dat als V met twee stenen verdedigt?
Dan geldt de tabel hiernaast.

Daarin zie je dat (alle getallen optellen) V in totaal 14 legers zal winnen in 36 gevallen.
Dat is een gemiddelde winst van ¹⁴/₃₆ leger bij één worp.

Dus deze tactiek is beter dan het verdedigen met 1 dobbelsteen (daar was de gemiddelde winst immers 0)

Conclusie:
"Als A als hoogste twee 4-3 gooit, dan moet V met 2 stenen verdedigen en dan zal hij gemiddeld ¹⁴/₃₆ leger winnen".

		s t e e n 2
		1	2	3	4	5	6
s t e e n 1	1	-2	-2	-2	0	0	0
	2	-2	-2	-2	0	0	0
	3	-2	-2	0	+2	+2	+2
	4	0	0	+2	+2	+2	+2
	5	0	0	+2	+2	+2	+2
	6	0	0	+2	+2	+2	+2

Maak ook voor de andere 20 gevallen zulke verlies/winst tabellen en zet het resultaat ervan in onderstaande tabel.
De middelste rij geeft aan met hoeveel stenen/legers V moet verdedigen.

worp van A	(6,6)	(6,5)	(6,4)	(6,3)	(6,2)	(6,1)	(5,5)	(5,4)	(5,3)	(5,2)
tactiek (1 of 2)
gemiddelde winst

worp van A	(5,1)	(4,4)	(4,3)	(4,2)	(4,1)	(3,3)	(3,2)	(3,1)	(2,2)	(2,1)	(1,1)
tactiek (1 of 2)			2
gemiddelde winst			¹⁴/₃₆

Etappe 3.

Oké, we weten nu hoe groot de kans op een bepaalde combinatie van A is (opgave 1) en we weten nu ook wat de tactiek van V in al die gevallen moet zijn en hoeveel legers hij gemiddelde zal winnen of verliezen (opgave 2).

Tijd om die twee tabellen te combineren.
Dat kan in de volgende tabel:

worp van A	(6,6)	(6,5)	(6,4)	(6,3)	(6,2)	(6,1)	(5,5)	(5,4)	(5,3)	(5,2)
kans									¹⁵/₂₁₆
tactiek (1 of 2)
gemiddelde winst

worp van A	(5,1)	(4,4)	(4,3)	(4,2)	(4,1)	(3,3)	(3,2)	(3,1)	(2,2)	(2,1)	(1,1)
kans
tactiek (1 of 2)			2
gemiddelde winst			¹⁴/₃₆


3.	Maak de bovenstaande tabel af. Toon vervolgens daarmee aan dat per worp de gemiddelde winstverwachting voor de verdediger gelijk is aan ¹/₁₂₉₆ leger.

En daarmee hebben we dan eindelijk antwoord op de hoofdvraag::

De Verdediger zal gemiddeld ¹/₁₂₉₆ ≈ 0,00077 leger per keer winnen.