h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Verfijnen,verfijnen,verfijnen,verfijnen,verfijnen,verfijnen

Laten we onze Riemann-rechthoekjes kleiner en kleiner en kleiner maken.
Hierboven is dat gebeurd onder de grafiek van y = 2x  tussen x = 0 en x = 4
Dan zal hun totale oppervlakte steeds meer gelijk worden een de werkelijke oppervlakte onder de grafiek.
Hoe groter n (het aantal rechthoekjes) wordt, des te kleiner wordt  Δx (de breedte van een rechthoekje).
Als n naar oneindig toe gaat, dan gaat Δx naar nul.
De groene rechthoekjesoppervlakte wordt dan steeds minder hoekig en steeds meer "vloeiend" volgens de echte grafiek van f(x). Dat geven we in een Riemann-som aan door de hoekige Σ te vervangen door een vloeiender S, en door de hoekige Δ te vervangen door een rondere d:

Hier staat dus in "normaal" Nederlands:
"Kies dx zo klein als je maar kunt, hoe kleiner hoe beter. Dan krijg je enorm veel rechthoekjes tussen x = 0 en x = 4. Bereken van al die rechthoekjes de oppervlakte en tel al die oppervlakten bij elkaar op".
Even wat namen: 
Zo'n oneindig fijne Riemann-som heet een "integraal".  Hem uitrekenen heet "integreren". Het getal nul heet de "ondergrens" en het getal 4 de "bovengrens".  De f(x) heet de "integrand".
Wiskundige zouden de formule in het kader hierboven uitspreken als:

"De integraal van nul tot vier van f(x)dx"

Ik hoor je nu denken "Ik hoop dat ik niet te vaak moet integreren, want al die duizenden, miljoenen rechthoekjes berekenen kost nogal veel tijd". Maar gelukkig biedt je rekenmachine hulp.
Neem als voorbeeld de oppervlakte hier boven. Die kun je als volgt door je TI-83 laten berekenen:
Voer de formule van f(x) in bij   Y  =  , dus  Y1 = 2^X
Kies het juiste WINDOW, bijvoorbeeld Xmin = 0, Xmax = 5. Ymin = -5, Ymax = 20
Druk nu op CALC en kies dan optie 7 (daar zie je zo'n integraalteken staan)
Je machine vraagt nu naar de ondergrens met Lower Limit?  Druk op 0 en ENTER
Je machine vraagt nu naar de bovengrens met  Upper Limit?  Druk op 4.
Druk op ENTER en de oppervlakte wordt voor je uitgerekend en zelfs ingekleurd!

   
  OPGAVEN
1. Bereken de volgende oppervlakten:

 
A ≈ 46,67
B ≈ 108
2. Schrijf de volgende oppervlakten met integraalnotaties:

3. a. Bereken de oppervlakte onder de grafiek van y = x2 + 2x  
tussen x = 4 en x = 10
≈ 396
b. Bereken de oppervlakte onder de grafiek van  y = √(4 - x)  
tussen  x = 2 en x = -2
≈ 7,91
c. Bereken de oppervlakte onder de grafiek van  f(x) = 3xx + 2x + 1 
tussen x = 3 en x = 6
≈ 117,11
4. De formule van een halve cirkel met straal 4 en middelpunt de oorsprong is  y = √(16 - x2)
De oppervlakte van zo'n halve cirkel is natuurlijk 1/2 πr2  maar vanaf vandaag kunnen we zo'n oppervlakte natuurlijk ook met een integraal uitrekenen. Bereken die oppervlakte op beide manieren, en controleer dat beide berekeningen hetzelfde antwoord geven.
5. Bereken de oppervlakte hiernaast.

 
≈ 1.34
6. Gegeven is de functie:

Iemand probeert met zijn rekenmachine de oppervlakte onder de grafiek van  f  tussen x = 2 en x = 5 te berekenen, maar zijn rekenmachine geeft maar steeds de foutmelding:  ERR : TOL  NOT  MET
Is zijn rekenmachine kapot? Of heeft hij zelf een fout gemaakt?

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)