Rekenen met machten.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wiskundigen houden van logica en regelmaat in hun rekensysteem.
Laten we eens wat regelmaat proberen op te sporen.....
Een rijtje machten geeft de volgende regelmaat:

Er wordt steeds naar rechts met drie vermenigvuldigd, dat zie je onderaan de figuur. Maar dat betekent dat er naar links steeds door drie wordt gedeeld (bovenaan).
Laten we dat delen door drie nog wat verder doorvoeren:

En daar vallen ons direct twee dingen aan op (hoop ik) :
I. De negatieve machten zijn hetzelfde als de positieve maar dan als breuk.
II 30 = 1

Dat geeft (in het algemeen met g  i.p.v. 3) de volgende twee regels:
g0 = 1


Gevolg:

   
Kijk uit!
   
De volgende fout wordt vaak gemaakt.

Als er staat  ab-2  dan wordt dat vaak veranderd in  1/(ab)2
Maar dat klopt natuurlijk niet!  Die macht -2 hoort alleen bij de b en niet bij de a.
De correcte manier is om dit te veranderen in  a • 1/b2  =  a/b2
Als de macht bij beide letters zou moeten horen, dan hoort er te staan  (ab)-2 . Dat is wιl gelijk aan   1/(ab)2

En misschien nog wel vaker wordt  1/3a-5  fout veranderd. Het is NIET gelijk aan 3a5  want die -5 hoort alleen bij die a en niet ook bij die 3.
De correcte manier om dit te veranderen is  1/3 • 1/a-5 = 1/3 • a5
   
   
  OPGAVEN

1. Los algebraοsch op: 
a. 2x • 4  =  2/2x 

-0,5

f. 16 • 4x = 64/42x

1/3

b. 3x • 34 = 1

-4

g. /2x = 16x

0,6

c. 5x • 5-1 = 1/125

-2

h. 2x + 2x  = 218

17

d. 3/(32x + 1) = 27 

-1,5

i. 1 =  4/(2-x+ 3)

1

e. (2-2)-2 = 32 • 2x

-1

j. 32 • x5  = (x + 1)5

1

2. Schrijf als ιιn macht van x:
a. x-3 • x4

x

d. x5 •  1/x8

x-3

g.   x3 • (x6)-2

x-9

b. x²/x-5

x7

e. x2 • 1/x

x

h.   (x-2)4 • 1/x-2

x-6

c. 1/x5 • 1/x-3

x-2

f. x • x2 • x-6

x-3

i.    (x/x²)5

x-5

3. Schrijf zonder negatieve exponenten en zo eenvoudig mogelijk:
a. 5p-2 • q3

5q³/p²

d. (2/3)-2

9/4

b. 1/8x-1

1/8x

e. (1/x-2 )5

x10

c. (2x)-3 • 1/x

1/8x4

f. 2/b-2 • (1/b)2

2

4. Als R = 3x + 3-x  en   S = 3x - 3-x  hoe groot is dan R2 - S2 ?
     

4

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)