Pythagore´sche drietallen.

ę h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Een Pythagore´sch drietal bestaat uit drie gehele getallen a, b enwaarvoor geldt  a2 + b2 = c2 . De drie getallen zouden dus de drie zijden van een rechthoekige driehoek kunnen zijn. Hier zie je er een paar:
       

       
Die eerste twee zijn nog gelijkvormig, maar die anderen niet. Er blijken oneindig veel verschillende Pythagore´sche drietallen te zijn. Maar hoe vind je ze?
 
Nou is de vergelijking van een cirkel met straal r en middelpunt O gelijk aan x2 + y2 = r2. En dat is natuurlijk precies de stelling van Pythagoras, maar dan met andere letters. Dat betekent dat een rechthoekige driehoek met gehele zijden a, b en c  wiskundig gezien eigenlijk precies hetzelfde is als een cirkel met middelpunt O en straal c, die door het roosterpunt (a, b) gaat.

Door te schrijven   (x/r)2 + (y/r)2 = 1  brengen we het probleem terug tot het vinden van punten van de cirkel x2 + y2 = 1  met als co÷rdinaten breuken, Dan kun je er makkelijk een Pythagore´sch drietal van maken.

We gaan proberen voor deze cirkel een parameterkromme te maken.

De truc daarvoor zie je hiernaast.

Laat de t die bij een willekeurig punt P van de cirkel hoort gelijk zijn aan de helling PQ waarbij Q het punt (1,0) is. Dus een lijn met helling t vanaf Q levert een snijpunt P met de cirkel op. In de figuur hiernaast zie je dat, als t alle waarden doorloopt, dat dan punt Q de cirkel doorloopt.
 
Dat geeft  y = t(x - 1)
Invullen in de vergelijking van de cirkel:  x2 + t2(x - 1)2 = 1 
⇒  x2 + t2x2 - t22x  + t2 - 1 = 0
x2 (1 + t2) + x(-2t2 ) + (t2 - 1) = 0
Nou, daar kun je de ABC-formule op loslaten:
De oplossing met het plusteken is saai:  x = 1, en dat is natuurlijk punt Q.
De oplossing met het minteken is interessanter:
Daarmee wordt de parametervoorstelling van de cirkel:
       

       
En het mooie van de parametervoorstelling is, dat er alleen maar hele machten van t in voorkomen.
Waarom dat zo mooi is?
Nou, als je voor t een geheel getal neemt, dan krijg je voor x en y breuken, en daar kun je dan makkelijk een Pythagore´sch drietal met gehele getallen van maken.
Neem bijvoorbeeld t = 2, dat geeft  x = 3/5 en  y = -4/5   dus  geldt  (3/5)2 + (-4/5)2 = 1   dus 32 + 42 = 52 
Het levert het Pythagore´sche drietal 3-4-5 op.
Hier is een lijstje met de drietallen die t = 1 t.m. 10 opleveren:
       
t drietal vereenvoudigd
1 0 - 2 - 2 0 - 1 - 1
2 3 - 4 - 5 3 - 4 - 5
3 6 - 8 - 10 3 - 4 - 5
4 8 - 15 - 17 8 - 15 - 17
5 10 - 24 - 26 5 - 12 - 13
6 12 - 35 - 37 12 - 35 - 37
7 14 - 48 - 50 7 - 24 - 25
8 16 - 63 - 65 16 - 63 - 65
9 18 - 80 - 82 9 - 40 - 41
10 20 - 99 -101 20 - 99 -101
       
En ga zo maar door.... COOL toch?.......
       

ę h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)