© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek I, propositie 48.
       

Als bij een driehoek het vierkant op één zijde gelijk is aan de som van de vierkanten op de
andere zijden, dan is die driehoek rechthoekig.
       
Neem een driehoek waarvoor het vierkant op BC gelijk is aan de som van de vierkanten op AB en AC.

(Met v(AC) bedoel ik het vierkant op AC)

Teken AD loodrecht op AC  (I-11)
kies D zo dat DA = AB  (I-3)
Teken DC  (P1)

DA = AB dus  v(DA) = v(AB)
Tel v(AC) bij beiden op:  v(AC) + v(DA) = v(AC) + v(AB)  (L2)

Maar de rechterkant is v(BC), want dat was de aanname.
Dus de linkerkant ook:

v(AC) + v(DA) = v(BC)
maar ook  v(AC) + v(DA) = v(DC) want ∠DAC is 90º  (I-47)
dus v(DC) = v(BC)  dus  BC = DC   (L1)

Dan zijn de driehoeken ADC en ABC congruent  (ZZZ)  (I-8)
Dus ∠DAC = ∠BAC
dus ∠BAC = 90º

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)