h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek I, propositie 39.
       

Gelijke driehoeken aan dezelfde kant van dezelfde basis, liggen tussen twee parallellen.

       
Met "gelijke"driehoeken wordt weer bedoeld driehoeken met geljik oppervlakte.
Voor de figuur hiernaast zou dat betekenen dat, als ABC en ABD gelijke oppervlakte hebben, dat dan CD parallel aan AB moet zijn.

Stel dat CD NIET parallel aan AB is....
Teken dan CE die wl parallel aan AB is.  (I-31)
Dan is de oppervlakte van ABC gelijk aan de oppervlakte van ABE
(I-37)
Maar als ABC dezelfde oppervlakte als ABD heeft, dan heeft dus ABD ook dezelfde oppervlakte als ABE. (L1)

Dan zou het grotere gelijk zijn aan het kleinere en dat kan niet.
Dus is CE niet evenwijdig aan AB.

       
Op deze manier kun je bewijzen dat er geen enkele andere lijn is die parallel is aan AB, dus is CD parallel aan AB.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)