h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 14.
       

Voor twee lijnen in een cirkel geldt:

even lang  ⇔ even ver van het middelpunt

       

Stel dat de lijnen AB en CD even lang zijn
Teken ME en MF vanaf M loodrecht op AB en CD

Een lijn door het midden die een koorde loodrecht snijdt, snijdt die koorde doormidden  (III-3)

Dus AE = EB
Dus AB is het dubbele van AE.
En op precies dezelfde manier is CD het dubbele van CF.
Dus als AB en CD gelijk zijn, dan zijn ook AE en CF gelijk.
Verder is ook AM = CM  (straal cirkel)

Maar omdat de driehoeken MEA en MFC rechthoekig zijn en twee gelijke zijden hebben, zijn ook de derde zijden gelijk (Pythagoras)  (I-47)

Dus ME = MF en de lijnen zijn even ver vanaf het midden.

       

Stel dat de lijnen even ver van het midden zijn, dus EM = FM
AM = CM dus weer is AE = CF  (Pythagoras)  (I-47)
Dus AB = CD  (dubbele van AE en CF)
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)