primitiveren

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Nog een paar primitieven.

Dit wordt één van de makkelijker en ook kortere lesjes uit deze serie.
Misschien zelfs wel een onnodig lesje, want we gaan een paar primitieven bekijken die je zelf waarschijnlijk ook wel kunt vinden.
Het draait allemaal uiteraard om de volgende regel:

F is een primitieve van f ⇔ F' = f

In "normaal" Nederlands:
"Als je de primitieve van een functie f zoekt, dan zoek je een functie waarvan f de afgeleide is"

(alhoewel, nu ik dit noteer realiseer ik me dat veel mensen dit waarschijnlijk geen normaal Nederlands zullen vinden.)
De primitieve van xⁿ hebben we al behandeld. Laten we de regel op drie nieuwe functies gaan toepassen.

De primitieve van f(x) = sinx

Oké, de vraag is dus eigenlijk: "van welke functie is sinx de afgeleide?"
Je kunt je misschien nog wel herinneren dat sin en cosx een "soort van" elkaars afgeleides waren. "Soort van", omdat het soms een minteken scheelt.
Is F(x) = cosx misschien de primitieve van f(x) = sinx?
Als dat zo is, dan zou de afgeleide van cosx gelijk moeten zijn aan sinx, maar dat is niet zo! Die afgeleide is -sinx.
Nou, da's makkeljik te repareren: zet er gewoon een mintelen bij, en alles komt goed!

de primitieve van f(x) = sinx is F(x) = -cosx

En voordat ik weer boze emails krijg van mensen die "wel weten waar ik woon": daar moet natuurlijk eigenlijk staan F(x) = -cosx + c want de primitieve is op een constante na bepaald.
Nou, laten we dan meteen maar de primitieven van f(x) = cosx doen.

de primitieve van f(x) = cosx is F(x) = sinx

Je ziet dat hier het minteken niet nodig is, want de afgeleide van sinx is gewoon cosx (zonder minteken). En ook hier weer op een constante c na bepaald natuurlijk.

De primitieve van f(x) = g^x

Tja: van welke functie is g^xde afgeleide??????Nou, om eerllijk te zijn.....g^x lijkt nogal op zijn EIGEN afgeleide!!!!
De afgeleide van g^xis namelijk g^x • lng en die lng is natuurlijk gewoon een constante. Dus g^x is op een constante na gelijk aan zijn eigen afgeleide.
Als je de functie f(x) = (¹/_lng) • g^x neemt, dan valt die constante bij het differentiëren weg en hou je vanzelf g^xover.

En daarbij hebben we dan direct het spediale geval van g = e. Dan is lng = lne = 1 en is de functie gelijk aan zijn eigen primitieve (en dus ook aan zijn eigen afgeleide)

De primitieve van f(x) = e^x is F(x) = e^x

Hoogste tijd om deze nieuwe primitieven te gaan toepassen in wat opgaven.

OPGAVEN

Examenopgave VWO Wiskunde B, 2017-II

De functie f is gegeven door:

f (x) = 2^x + 2^-2x

In de figuur hiernaast is een deel van de grafiek van f weergegeven.
De functie heeft één extreme waarde
en dat is een minimum.

Bereken exact de waarde van x waarvoor f(x) minimaal is.

x = ¹/₃

In de figuur linksonder is het gebied grijs gemaakt dat wordt begrensd door de grafiek van f , de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = -1 en x = 1. In de figuur rechtsonder is het rechthoekige gebied grijs gemaakt dat wordt begrensd door de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = -1, x = 1 en y = k .
De waarde van k is zo gekozen dat het grijze gebied uit beide figuren dezelfde oppervlakte hebben.

Bereken algebraïsch de waarde van k. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.

2,43

Aan de grafiek van f(x) = g^x wordt de raaklijn r in het snijpunt met de y-as getekend. Zie de figuur.
V is het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van f, de raaklijn r en de lijn x = 1.

Bereken voor welke g de oppervlakte van V gelijk is aan 1. Geef he antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

6,49

De grafiek van y = 4x - 4x² lijkt voor 0 ≤ x ≤ 1 nogal op de grafiek van y = sin(πx).

Zie de figuur hiernaast.

Als je voor beide grafieken de oppervlakte V tussen x = 0 en x = 1 en de x-as berekent, kun je een benadering voor π maken.

Hoe groot is die benadering?

π = 3

Als je de grafiek van y = sinx over een afstand ¹/₆π naar rechts schuift krijg je de grafiek van y = sin(x - ¹/₆π)
Zie de figuur

Bereken algebraïsch de oppervlakte van het gebied V dat wordt ingesloten door deze beide grafieken.
Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
Beperk je tot het deel waar 0 ≤ x ≤ 2π

1,035

In plaats van ¹/₆π kun je de grafiek van y = sinx natuurlijk over een andere afstand a ( met 0 < a < π) naar rechts schuiven.
Voor de oppervlakte O tussen beide grafieken geldt dan O = 4sin(¹/₂a)

Toon dat aan.

Gegeven zijn de functies f (x) = g^x en h(x) = g^2x
We bekijken het vlakdeel tussen beide grafieken voor x < 0
Dat is aan de linkerkant niet begrensd, dus je er niet zomaar de oppervlakte van uitrekenen.

Zie de figuur hiernaast.

Voor de oppervlakte (O) van het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van f en h en de lijn x = -a geldt:

Toon dat aan.

Voor welke g wordt de (onbegrensde) oppervlakte tussen beide grafieken voor x < 0 gelijk aan 1?

g = √e