h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Zelf een formule maken
       

       
De oplossing.
       
We gaan om een formule van een parabool te maken de verschuivingen en vermenigvuldiging van de vorige les gebruiken.
Begin met de basisgrafiek van y = x2 , en laten we die gaan veranderen:

  Als je die over afstand p naar recht schuift wordt de formule  y = (x - p)2
  Als je hem daarna vermenigvuldigt t.o.v. de x-as met factor a wordt de formule  y = a(x - p)2
  Als je hem tenslotte over afstand c omhoog schuift dan wordt de formule  y = a(x - p)2 + q

Wat is er intussen met de top gebeurd?
Dat was eerst (0, 0),
Na verschuiving p naar rechts werd de top  toen  (p, 0)
Na vermenigvuldiging met factor a bleef de top  (p, 0)
Na verschuiving q omhoog werd de top  (p, q)

Conclusie:
Van een parabool met top (p, q) is de formule  y = a (x - p)2 + q
       
Je kunt dat trouwens ook als volgt gewoon direct met die formule beredeneren.
Neem de formule  y = 3 (x - 4)2 + 5, we weten al dat dat een dalparabool is.
VRAAG ANTWOORD
Wanneer is  3 (x - 4)2 + 5 minimaal? Dat is als  3 (x - 4)2  minimaal is.
Wanneer is 3 (x - 4)2  minimaal? Dat is als  (x - 4)2  minimaal is.
Wat is (x - 4)2 minimaal? Het is een kwadraat, dus is minimaal nul.
Wanneer is (x - 4)2 gelijk aan nul? Als x = 4.
Hoe groot is dat minimum? Vul x = 4 in, en je krijgt  y = 5
En met  y = a (x - p)2 + q  gaat het hele verhaal precies hetzelfde en vinden we als top het punt  (p, q).
(En ook bij bergparabolen gaat de redenering bijna hetzelfde, maar dan "maximaal" in plaats van "minimaal").

AHA!  Dus als de top  (3,6) is, is de formule  y = a (x - 3)2 + 6 
En als de top  (-3, 9) is, is de formule  y = (x + 3)2 + 9
En als de top  (-2, -6) is, is de formule y = a (x + 2)2 - 6

Laatste vraag:  Hoe vinden we a ?
       
Dat is gelukkig erg eenvoudig:    

      VUL GEWOON EEN ANDER PUNT IN.

Neem als voorbeeld de parabool hiernaast.
De top is het punt (2,4) dus de formule wordt  y = a (x - 2)2 + 4
De parabool gaat verder nog door bijv. het punt (3,1)

x = 3 en y = 1 invullen geeft:  1 = a (3 - 2)2 + 4
Dus  1 = a + 4  en dus geldt a = -3
De formule is kennelijk  y = -3 (x - 2)2 + 4

 
Allerlaatste vraag:   En als we de top niet weten?

Niet zo ongeduldig, dat doen we de volgende les.....
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Geef  formules van de volgende parabolen. De schaalverdeling is steeds 1 eenheid per hokje.
       
 

   
       
2.

       
  Een basketballer heeft een vrije worp perfect ingestudeerd. Hij gooit de bal via een paraboolbaan die dezelfde vorm heeft als de parabool  y = -0,001x2
De vrije worplijn bevindt zich 460 cm (horizontaal gemeten) voor de plaats van de ring, en de ring hangt op 305 cm meter hoogte.

Het hoogste punt van de baan bevindt zich 330 m boven de grond.
Bereken de hoogte waarop de speler de bal loslaat.
       
  TIP:
leg de oorsprong van je assenstelsel recht onder de top van de parabool
       
3. Gegeven zijn de parabolen;
P1y = 4 - 3(x + 2)2
P2y = x2 + 4x + 10
P3y = 0,5(x + 8)2 - 4

De top van parabool P4 ligt midden tussen de toppen van P1 en P2 in.
Bovendien gaat P4 door de top van P3.

Geef een vergelijking van P4.
       
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)