oneigenlijke integralen


Oneigenlijke integralen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Oneigenlijke integralen zijn integralen die ...het woord zegt het eigenlijk al.... die niet "echt" zijn.
En dat niet "echt" zijn kan op twee manieren. We hebben het dan ook over oneigenlijke integralen van de eerste soort en van de tweede soort. Ik zal ze beide behandelen.

Oneigenlijke integralen van de eerste soort.

Dat zijn integralen waarbij één van de grenzen ∞ of -∞ is (beide grenzen kan ook). Nou is ∞ niet een "echt" getal dat je kunt invullen, dus zulke integralen werken niet zomaar op dezelfde manier als normale integralen.
Er zijn drie soorten:

Daarbij is a wel een of ander "normaal"getal, en f(x) één of andere "normale" functie.

Nou kun je ¹/_x2 wel primitiveren, maar dat ∞ invullen dat gaat daarna niet lukken, want dat is geen getal.
Als je je bedenkt dat het gaat om die gele oppervlakte hiernaast, dan is er een mogelijkheid om met dat ∞ om te gaan.
Kijk, je kunt natuurlijk wél de oppervlakte onder deze grafiek tussen x = 1 en x = p berekenen als p een "echt" getal is. Dat gaat gewoon zó:

Kijk nu gewoon wat er gebeurt als p groter en groter en groter en groter wordt.

p	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000
1 -¹/_p	0,9	0,99	0,999	0,9999	0,99999	0,999999	0,9999999	0,99999999

Je ziet, die oppervlakte loopt langzaam naar 1 toe. Hoe groter p des te dichter komt die oppervlakte bij 1. Wiskundigen zeggen in zo'n geval "De limiet van p naar oneindig is gelijk aan 1". 't Is gewoon een soort truc om te vermijden dat je ∞ moet invullen.
Je ziet dat, alhoewel het om een oneindig groot interval voor de x-en gaat, de integraal toch niet oneindig groot is. Als er uit zo'n oneigenlijke integraal toch een getal komt dan noemen we de integraal convergent. Wordt de oneigenlijke integraal zelf ook oneindig groot (positief of negatief) dan heet hij divergent.

Op precies dezelfde manier kun je de integraal van -∞ naar -1 berekenen.

De integraal van -∞ naar +∞ moet je in tweeën splitsen:

Daarin is a een willekeurig getal.
En die twee daar rechts kun je apart op bovenstaande manier berekenen.

En toch kan er daarbij iets fout gaan!!!
Stel bijvoorbeeld dat je de integraal van -∞ naar +∞ van f(x) = ¹/_x² wilt berekenen, en je neemt a = 1.
Dan geeft dat:

Als p en q beiden willekeurig groot worden, dan gaat dat antwoord naar nul toe.
Huh?
De oppervlakte onder die grafiek is toch niet nul??? 't Zit overal boven de x-as!!!

Wat is er misgegaan?

Het zit hem allemaal in het feit dat de functie f(x) = ¹/_x² bij x = 0 helemaal niet bestaat. Daar zit een verticale asymptoot. En om dan de oppervlakte toch uit te rekenen komen we bij oneigenlijke integralen van de tweede soort.

Oneigenlijke integralen van de tweede soort.

Dat zijn integralen waarbij de functie f(x) ergens tussen de integratiegrenzen niet continu is. Meestal zal het gaan om een verticale asymptoot.
Stel bijvoorbeeld dat de functie f bij x = c een verticale asymptoot heeft, en je wilt de integraal van a naar c uitrekenen.
Nou, dan pas je gewoon dezelfde truc als hierboven toe!
Je berekent de integraal van a naar p en laat vervolgens in je antwoord de p naar c toe lopen.

Neem de integraal van 0 naar 4 van de functie f(x) = ¹/_{√(4 - x)}Hiernaast zie je een plaatje, en ook dat f(x) een verticale asymptoot heeft bij
x = 4.
Bereken daarom de integraal van 0 naar p:

Dat is geen enkel probleem: als p naar 4 toe gaat, dan gaat die wortel naar nul toe, en dan komt er 4 uit de integraal. De gele oppervlakte hiernaast is dus gelijk aan 4.

Als je wilt integreren tussen a en b en de functie f(x) bestaat niet bij een getal c ergens tussen a en b, dan moet je die integraal weer in tweeën splitsen, en beide stukken apart zoals hierboven berekenen.

Alleen als beide stukken aan de rechterkant convergeren (een waarde opleveren) kun je ze optellen en zeggen dat de hele integraal de som van die twee is.

Een combinatie van beiden.

Beide "problemen" van deze les kunnen ook in één integraal samenkomen. Neem als voorbeeld deze integraal:

Die heeft aan de ene kant (x = 0) een verticale asymptoot, terwijl de andere kant naar oneindig loopt.
Om die twee problemen van elkaar te scheiden kun je het best de integraal ergens op een willekeurig punt in tweeën hakken. Als je dat bijvoorbeeld doet bij x = 1, dan krijg je:

Voor die eerste neem je de integraal van p tot 1 en laat vervolgens p naar nul gaan. Voor die tweede neem je de integraal van 1 tot q en laat vervolgens q naar oneindig gaan. Alleen als beide integralen een eindige waarde opleveren kun je zeggen dat deze integraal bestaat.
In dit geval levert de eerste integraal -1 +¹/_p op en de tweede -¹/_q + 1
Die tweede gaat naar 1, maar die eerste gaat naar een oneindig groot getal, dus de integraal bestaat niet.

Bereken de volgende integralen.

-18

divergeert

¹/₂