|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Omwentelingslichamen. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| We gaan in deze les
vergelijkingen opstellen van gekromde vlakken. Dat is makkelijker dan je
denkt, maar vooral omdat we ons beperken tot één soort gekromde vlakken. We bekijken namelijk alleen vlakken die ontstaan door een tweedimensionale kromme om te wentelen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Neem bijvoorbeeld de
lijn z = 0,5y hiernaast die wordt gewenteld om de
y-as. Dat geeft zoals je ziet een kegel. Wat is de vergelijking van de kegelmantel? Nou is het mooie van omwentelen dat dat altijd cirkels oplevert. Hiernaast zijn er 4 getekend. Die cirkels hiernaast liggen in een vlak evenwijdig aan het xz-vlak, dus de vergelijking van zo'n cirkel is x2 + z2 = r2 Maar de straal varieert! Die hangt af van y (hoe verder naar rechts hoe groter de straal) |
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Hiernaast zie je dat
de r van een bepaalde cirkel gelijk is aan de z-coördinaat die bij de y van die cirkel hoort. En we weten waar die gelijk aan is, immers z = 0,5y Vul dat dus maar voor r in, dan vind je x2 + z2 = (0,5y)2 Kortom de vergelijking van de kegelmantel is x2 + z2 = 0,25y2 |
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Nog maar eentje dan..... De parabool z = 2y2 hieronder wordt gewenteld om de z-as. Dat geeft een zogenaamde paraboloïde. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De cirkels liggen
evenwijdig aan het xy-vlak dus hebben vergelijking x2
+ y2 = r2 Maar de r is gelijk aan de y die bij een bepaalde z hoort. z = 2y2 geeft y2 = 0,5z en dat is r2 De vergelijking wordt dan x2 + y2 = 0,5z En natuurlijk kunnen we daarna die vergelijking weer gaan gebruiken om de snijden met lijnen en vlakken en zo, dat voel je natuurlijk al wel aankomen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| OPGAVEN | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
