© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Combinaties met de normale verdeling.
Bij de oefeningen in deze les is het toepassen van de normale verdeling slechts een onderdeel van een opgave. Je hebt de normale verdeling nodig, maar moet daarmee nog "meer" doen.
Het vaakst zie je dat je eerst met de normale verdeling een kans moet uitrekenen, die je daarna weer moet gebruiken met de binomiale verdeling. Zoals in het volgende voorbeeld.

Voorbeeld.
Het gewicht van een partij Sunstar appels bij de groenteboer is normaal verdeeld met een gemiddelde van 140 gram en een standaarddeviatie van 15 gram. Een klant koopt van deze partij 12 appels. Hoe groot is de kans dat er meer dan 4 van die appels minder dan 130 gram wegen?

Voor één appel is de kans dat hij minder dan 130 gram weegt gelijk aan  normalcdf(0, 130, 140, 15) = 0,2525
Als we een gewicht van minder dan 130 gram "succes" noemen, dan is het aantal successen binomiaal verdeeld met n =12 en p = 0,2525. Dan geldt  P(X > 4) = 1 - P(X ≤ 4) = 1 - binomcdf(12, 0.2525, 4) =  0,1628.

1. De Canon-Pixma-MP630 is een printer met 5 inktcartridges: één grote voor zwarte inkt en 4 kleinere met de kleuren geel, cyaan en magenta en weer zwart. Het aantal zwart-wit pagina's tekst dat met de grote zwarte inktcartridge kan worden geprint is normaal verdeeld met een gemiddelde van  800 en een standaarddeviatie van 15.
         
  a. Met de laatste 5 cartridges die ik kocht kon ik elke keer minder dan 790 pagina's tekst afdrukken. Hoe groot is de kans dat zoiets gebeurt als de gegevens hierboven kloppen?
       

0,00083

  Met de kleinere kleurencartridges kun je 600 pagina's kleurenafdrukken printen met een standaarddeviatie van 15 pagina's.
         
  b. Als ik op een gegeven moment de 620ste kleurenafdruk wil maken, hoe groot is dan de kans dat precies twee van de vier kleurencartridges het nog doen?
       

0,00127

   
2. De lengte van een partij zonnebloemen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 90 cm en een standaarddeviatie van 9 cm.  Als ik 30 zonnebloemen uit deze partij krijg, hoe groot is dan de kans dat minstens 20 van die bloemen een lengte tussen 85 en 100 cm hebben?
       

0,211

   
3. De systolische bloeddruk (bovendruk) bij volwassenen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 117 en een standaarddeviatie van 18.  Een arts meet op een dag van 20 mensen de bloeddruk. Hoe groot is de kans dat:
         
  a. bij hoogstens 4 mensen de bloeddruk hoger is dan 125?
   

0,1627

  b. meer dan 8 mensen een bloeddruk tussen 110 en 120 hebben?
   

0,0123

  c. precies 10 mensen een bloeddruk hebben die niet meer dan 6 van het gemiddelde afwijkt?
       

0,0187

         
4. Een appelmoesfabrikant laat zijn potten met biologische appelmoes vullen door een vulmachine. Op de potten staat dat er 340 gram appelmoes inzit. De vulmachine is echter niet zo nauwkeurig: het vulgewicht heeft een standaarddeviatie van maar liefst 12 gram. Om geen boze klanten te krijgen stelt de fabrikant de machine daarom af op een gewicht dat hoger is dan 340 gram.
 

  a. Op welk gewicht moet de machine worden afgesteld zodat hoogstens 2% van de potten te weinig appelmoes bevatten?
     
364,6
  Omdat de machine gemiddeld meer dan 340 gram in een pot moet doen gaat de fabrikant op zoek naar een nauwkeuriger machine. De appelmoespottenvulmachinehandelaar heeft 3 modellen in zijn assortiment, waarvan de prijs en standaarddeviatie zijn zoals in de volgende tabel. Daarin staat ook de verwachte levensduur van de machine (in aantal te vullen potten)
         
 
model Astepo Galdi Fimer
standaarddeviatie (gram) 10 8 6
aantal potten (duizenden) 300 250 320
prijs (duizenden euro) 120 100 140
         
  De kostprijs van de appelmoes is voor de fabrikant gelijk aan €0,40 per 100 gram. De machine die gekocht gaat worden moet zó worden afgesteld dat weer hoogstens 2% van de klanten te weinig appelmoes krijgt.
         
  b. Welk van bovenstaande drie modellen kan de fabrikant het best aanschaffen?
         
5. De Olympische limiet om mee te mogen doen aan het verspringen voor dames is 6.60 meter. Een atlete weet dat haar sprongen normaal verdeeld zijn met een gemiddelde van 6.40 meter en een standaarddeviatie van 13 cm. Om uitgezonden te worden moet de atlete binnen een periode van een half jaar minstens vijf keer voldoen aan deze limiet. In dat halve jaar zijn er vier wedstrijden met elk 5 sprongen. 
         
  a. Bereken de kans dat de atlete zich bij deze wedstrijden zal plaatsen voor de Spelen.
   

0,1237

  b. Hoe hoog zou de Olympische limiet moeten zijn om ervoor te zorgen dat haar plaatsingskans in dit halve jaar minstens 90% is?
       

6.49

  c. Bereken de kans dat haar verste sprong in dit halve jaar minstens 6.62 meter zal zijn.
       

0,6043

   
6. Voor het slotbal van een Amerikaanse Highschool worden alle 30 de meisjes willekeurig gekoppeld aan één van de 30 jongens. De lengte van de meisjes is normaal verdeeld met een gemiddelde van 165 cm en een standaarddeviatie van  10 cm. De lengte van de jongens is ook normaal verdeeld met een gemiddelde van 178 cm en een standaarddeviatie van 8 cm.

Een koppel op de dansvloer noemen we "vreemd"  als het meisje langer is dan de jongen.
Hoe groot is de kans op minstens 5 "vreemde" koppels?
       

0,5064

         
7. Een vereenvoudigd DARTS-bord bestaat uit 5 cirkels met hetzelfde middelpunt en stralen 3, 6, 9, 12, en 15 cm. Daardoor ontstaan vijf gebieden die vanaf het midden respectievelijk 5, 4, 3, 2 en 1 punt opleveren. Francien meet een groot aantal keren hoe ver haar pijltje van het midden af komt, en die afstand blijkt normaal verdeeld met een gemiddelde van 6 cm en een standaarddeviatie van 3 cm.

       
  a. Hoe groot is de kans dat zij bij één keer gooien minimaal 3 punten scoort?
       
  b. Geef een kansverdeling van het aantal punten bij één keer gooien en bereken daarvan de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie.
         
8. Een inkoper moet voor zijn sportwinkel voor het hele zomerseizoen zwembroeken inkopen.
Hij verwacht er 1000 te verkopen, maar zeker weet hij dat niet. Eigenlijk denkt hij dat het aantal verkochte zwembroeken de komende zomer normaal verdeeld zal zijn met een gemiddelde van 1000 en een standaarddeviatie van 60.
De inkoopsprijs is 20 euro, de verkoopsprijs 35 euro.
Aan het eind van het seizoen doet hij het overschot in de uitverkoop, en zal die dan voor 15 euro verkopen.

Hij  vraagt zich af hoeveel polo's hij moet inkopen om een zo groot mogelijk winst te maken.........

         
  a. Stel dat hij overweegt een extra zwembroek te kopen, en dat de kans p is dat hij die inderdaad verkoopt.
Toon aan dat de verwachtingswaarde van de winst dan positief is als p > 0,25.
         
  Als de verkoopkans van de nde  zwembroek gelijk is aan 0,25, dan is dat het grensgeval van hoeveel zwembroeken de inkoper moet inkopen.
         
  b. Bereken voor de hoeveelste zwembroek dat zo is, en los daarmee het probleem van de inkoper op.
       

1041

         
9. Een kogelstoter heeft in een zware trainingsweek een groot aantal worpen gedaan.
De geworpen afstanden staan in de volgende tabel:
         
 
afstand (in m) aantal
15,25 - < 16,75
16,75 - < 17,75
17,75 - < 18,25
18,25 - < 18,75
18,75 - < 19,75
19,75 - < 20,75
13
48
39
37
50
13
         
  a. Laat m.b.v. normaal-waarschijnlijkheidspapier zien dat deze verdeling bij benadering een normale verdeling is. Bepaal het gemiddelde en de standaarddeviatie.
         
  Neem voor de rest van deze opgave aan dat  μ = 18,25 en σ = 1
         
  b. Deze kogelstoter gaat meedoen in een wedstrijd waarbij de resultaten van drie pogingen worden opgeteld.
Bereken de kans dat hij in totaal meer dan 58 meter zal stoten.
         
  c. Deze kogelstoter gaat 30 worpen doen.
Bereken de kans dat de beste worp meer is dan 19,1 meter?
         
10. examenvraagstuk VWO wiskunde A, 1984

Een machine spoelt garen op een klosje. De lengte van de draad op een klosje is in praktijk normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 m en een standaardafwijking van 47 cm.
Aan het eind van de dag wordt een klosje aselect getrokken uit de geproduceerde hoeveelheid en de lengte van de draad op dat klosje wordt nauwkeurig gemeten.
Bij een afwijking van meer dan 60 cm van de voorgeschreven 100m, wordt de machine opnieuw afgesteld.

         
  a. Laat zien dat de kans dat de machine, ondanks een correcte instelling, toch opnieuw wordt afgesteld,  bij benadering 20% is.
         
  b. Neem aan dat de machine gedurende een periode van drie weken (15 werkdagen) steeds correct is ingesteld. Hoe groot is de kans dat in die periode desondanks meer dan drie keer opnieuw wordt afgesteld?
         
  c. Er wordt een nieuwe machine aangeschaft, die volgens de leverancier aanmerkelijk nauwkeuriger werkt.
Men handhaaft de oude procedure waarbij dagelijks de draad van een aselect gekozen klosje wordt nagemeten en een afwijking van meer dan 60 cm tot gevolg heeft dat de machine opnieuw wordt afgesteld.
Neem aan dat de lengte van de draad op een klosje ook voor de nieuwe machine normaal verdeeld is. De kans dat die machine ten onrechte opnieuw wordt afgesteld is bij benadering 10%.
Hoe groot is de standaardafwijking van de lengte van de draad op een klosje?
         
11. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2002.

Een zwangerschap duurt gemiddeld 40 weken.
Neem bij de volgende vragen aan dat de zwangerschapsduur normaal verdeeld is. 85% van de zwangere vrouwen bevalt tussen de 266e en de 294e dag. Uit deze gegevens is af te leiden dat de standaardafwijking op gehelen afgerond 10 dagen is.

         
  a. Bereken de standaardafwijking in één decimaal nauwkeurig.
       

9,7

  Neem in het vervolg van deze opgave voor de standaardafwijking 10 dagen.
Baby's die geboren worden na een zwangerschap van 37 weken of minder heten te vroeg geboren.
Volgens het Centraal Bureau voor de Statistiek worden op een doorsnee dag in ons land 520 kinderen geboren.
         
  b. Bereken in gehele procenten de kans dat er op een doorsnee dag tussen de 5 en 15 baby's te vroeg geboren worden.
       

85%

         
12. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2003.

Een boomkweker koopt een grote partij jonge sparrenboompjes. Uit onderzoek is bekend dat de lengte van jonge sparrenboompjes bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 25 cm en dat 5% van de boompjes korter is dan 20 cm. De partij jonge sparrenboompjes is te beschouwen als een aselecte steekproef.
         
  a. Bereken de standaardafwijking van de lengteverdeling van jonge sparrenboompjes. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
       

3,04

  De kweker neemt steeds aselect 40 boompjes en plant deze in één rij.
         
  b. Bereken de kans dat in zo'n rij precies één boompje korter is dan 20 cm. Rond je antwoord af op twee decimalen.
       

0,27

  Na een aantal jaren wordt een groot aantal van deze sparrenboompjes voor de kerstverkoop gerooid. Je kunt er nu van uitgaan dat de lengte van deze partij bomen bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 145 cm en een standaardafwijking van 15 cm.
         
  c. Bereken de kans dat een aselect gekozen boom uit deze partij een lengte heeft die ligt tussen de 140 en de 170 cm. Rond je antwoord af op twee decimalen.
       

0,58

  De bomen worden ingedeeld in twee prijsklassen, namelijk:  kleine bomen van € 10,- per stuk en grote bomen van € 15,- per stuk. De kweker wil dat de te verwachten opbrengst per 100 bomen € 1300,- is.
         
  d. Bereken bij welke lengte de grens tussen de beide prijsklassen dan moet liggen. Rond je antwoord af op hele centimeters.
       

141 cm

         
13. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2008.

In een café wordt bier getapt in glazen met een inhoud van 25 cl. Het is de bedoeling dat er 20 cl bier (het vloeibare gedeelte) en 5 cl schuim in een glas komt. De hoeveelheid bier in een dergelijk bierglas in dit café is bij benadering normaal verdeeld. Alle leden van het barpersoneel tappen gemiddeld 20 cl bier in een glas met een standaardafwijking van 0,6 cl.

In dit café is de kwaliteitsnorm: de hoeveelheid bier in een bierglas moet liggen tussen 19 en 21 cl.

         
  a. Bereken hoeveel procent van de glazen die het barpersoneel tapt, voldoet aan de kwaliteitsnorm.
       

90,44

  b. Bereken de kans dat van de tien glazen bier die het barpersoneel tapt er hoogstens drie zijn met minder dan 19,5 cl bier.
       

0,875

  Regelmatig wordt er in het café 1 meter bier besteld. Dat zijn 13 glazen bier op een rijtje. We bekijken nu de totale hoeveelheid bier van de 13 glazen die het barpersoneel getapt heeft.
Ook de totale hoeveelheid bier is bij benadering normaal verdeeld, met een
gemiddelde van 260 cl. De kans dat de totale hoeveelheid bier kleiner is dan 258 cl is 18%.
         
  c. Bereken de standaardafwijking van de totale hoeveelheid bier.
       

2,18

         
14. examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2007.

Van een groot aantal mensen in 25 verschillende beroepsgroepen is het IQ gemeten. Voor elke beroepsgroep is vervolgens het gemiddelde IQ en de standaardafwijking bepaald.
We nemen aan dat binnen elke beroepsgroep het
IQ van een persoon uit die beroepsgroep normaal verdeeld is. Het blijkt dat naarmate het gemiddelde IQ van een beroepsgroep groter is, de standaardafwijking kleiner is. Het volgende verband geldt:
σ = 45,5 – 0,272 • μ. Hierin is σ de standaardafwijking en μ het gemiddelde IQ van een beroepsgroep.
Uitgaande van de normale verdeling kunnen we met deze formule voor elke waarde van het gemiddelde m berekenen hoe groot de kans is dat een persoon uit een beroepsgroep met dat gemiddelde een IQ heeft dat groter is dan 80, 85, 90, …, 135, 140. Het resultaat van deze berekeningen is grafisch weergegeven in de volgende figuur:.

         
 

         
  Bij punt A lezen we af dat de kans ongeveer 0,7 is dat een persoon uit een beroepsgroep met gemiddeld IQ van 122 een IQ heeft dat groter is dan 115. Ofwel in formulevorm: P(IQ > 115) ≈ 0,7, waarbij μ = 122. Uitgaande van het verband σ = 45,5 – 0,272 • μ kunnen we deze kans nauwkeuriger berekenen.
         
  a. Bereken deze kans. Geef je antwoord in 3 decimalen nauwkeurig.
       

0,715

  Uit een grote beroepsgroep met een gemiddeld IQ van 110 worden willekeurig vier personen geselecteerd. We willen de kans weten dat alle vier personen een IQ hebben dat groter is dan 120. Deze kans kun je berekenen als je de kans weet dat één willekeurig persoon uit deze beroepsgroep een IQ groter dan 120 heeft. Deze laatste kans kun je aflezen uit de figuur hierboven.
         
  b. Bereken op bovenstaande wijze de kans dat alle vier personen een IQ hebben groter dan 120.
       

0,005

  Een vuistregel van de normale verdeling zegt dat 68% van de gegevens ligt tussen de waarde μ σ en de waarde μ + σ. Deze vuistregel zou ook in de figuur hierboven terug te vinden moeten zijn.
         
  c. Laat zien dat deze vuistregel is terug te vinden in de grafieken van de figuur hierboven Doe dit  voor personen uit een beroepsgroep met een gemiddeld IQ van 120. Licht je werkwijze toe.
         
15. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2004.

Een huisarts heeft op elke werkdag twee uren gereserveerd voor een spreekuur. De ervaring heeft haar geleerd dat zij tijdens het spreekuur gemiddeld tien minuten voor een patiënt nodig heeft.
De huisarts deelt de patiënten die van haar spreekuur gebruik maken in drie groepen in:

   
  • gemakkelijke patiënten die hoogstens 5 minuten tijd kosten.
  • gewone patiënten die tussen de 5 en 125 minuten tijd kosten
  • tijdrovende patiënten die minstens 15 minuten tijd kosten.
  We maken bij deze situatie het volgende wiskundige model:
   
  • elke werkdag komen er 12 patiënten op het spreekuur.
  • De tijd die de huisarts tijdens het spreekuur voor een patiënt nodig heeft is normaal verdeeld met een gemiddelde van 10 minuten en een standaardafwijking van 4 minuten.
         
  a. Bereken de verwachtingswaarde van het aantal tijdrovende patiënten tijdens een spreekuur in twee decimalen nauwkeurig.
       

1,27

  b. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat de huisarts tijdens een spreekuur 2 gemakkelijke en 10 gewone patiënten krijgt.
       

0,07

  c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat tijdens een spreekuur minstens zes patiënten meer dan 10 minuten kosten.
       

0,61

         
16. Een hovenier bij de gemeentewerken plant op een gegeven moment 2000 nieuwe plantjes in de stad. Hij weet dat de levensduur daarvan normaal verdeeld is met een gemiddelde van 80 dagen en een standaarddeviatie van 20 dagen.

Na 50 dagen gaat hij alle plantjes controleren en vervangt degenen die dood zijn door nieuwe plantjes (ook weer met dezelfde gemiddelde levensduur en dezelfde standaarddeviatie daarvan)
         
  a. Hoeveel plantjes moet hij vervangen?
       

134

  Nog eens 40 dagen later vervangt hij wéér alle dode plantjes.
         
  b. Hoeveel plantjes moet hij deze keer vervangen?
       

1252

         
17. Eieren worden wel in drie gewichtsklassen ingedeeld, namelijk Small (S), Medium (M) en Large(L)
Medium eieren wegen 53-63 gram, Small eieren wegen minder en Large meer.
Een boer heeft kippen waarvan hij weet dat die eieren leggen waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 60 gram en een standaarddeviatie van 8 gram.
Hij heeft een grote schaal met daarin  48 eieren van zijn kippen.

       
  a. Neem aan dat de verdeling S-M-L precies is zoals je volgens de normale verdeling zou verwachten.
Als hij dan een doosje met 10 eieren uit zijn schaal vult, hoe groot is dan de kans dat dat  6 Small, 3 Medium en 1 Large ei  zijn?
   

0,00034

  b. S en M eieren leveren hem €0,06 op en L-eieren leveren hem  €0,08 op.
Hoe groot is de kans dat de 48 eieren uit de schaal minstens  €3,50 opleveren?
       

0,5520

         
18. Voor consumptie van Zeeuwse mosselen onderscheidt men vijf gewichtsklassen, aflopend van groot naar klein zijn dat: Goudmerk, Jumbo, Imperial, Super en Extra
       
 
soort aantal stuks per kg prijs per mossel
Extra
Super
Imperial
Jumbo
Goudmerk
70 - 80
60 - 70
50 - 60
40 - 50
30 - 40
€ 0,07
€ 0,08
€ 0,10
€ 0,12
€ 0,15
         
  a. Laat zien dat deze tabel in alle gevallen ongeveer dezelfde prijs per kg mosselen oplevert
         
  Een mosselkweker weet dat het gemiddelde gewicht van zijn mosselen normaal verdeeld is met een standaarddeviatie van 10 gram.

Hij verwacht een voorraad van 20000 mosselen te kunnen verkopen voor  €800.
         
  b. Van welk gemiddelde gewicht gaat hij uit?
       

18,64 g

19. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2016-I
         
  Tegenwoordig zijn bureaustoelen in hoogte verstelbaar. Daardoor kunnen de meeste mensen de stoel instellen op de zithoogte die voor hen ideaal is. De ideale zithoogte van volwassen Nederlanders is normaal verdeeld met een gemiddelde van 46,0 cm en een standaardafwijking van 3,8 cm. Ontwerpers gebruiken deze gegevens om de ideale bureaustoel te ontwerpen.

Een ontwerper wil een bureaustoel maken waarvan de hoogte instelbaar is door middel van een gasveer van 8,0 cm. Zie de figuur. De zithoogte kan dus 8,0 cm variëren. De ontwerper moet nog wel kiezen tussen welke
minimumhoogte en maximumhoogte de zithoogte kan variëren, als er
maar 8,0 cm verschil tussen zit. In de tabel zie je twee mogelijke situaties.
Er zijn veel meer mogelijkheden.

         
 
minimum-
hoogte
maximum-
hoogte
percentage van de mensen dat
stoel op ideale hoogte kan
instellen
44,0 cm 52,0 cm 64 (%)
47,0 cm 56,0 cm 39(%)
         
  a. Toon aan  dat het onmogelijk is om met de gasveer van 8,0 cm de stoel zó te maken dat meer dan 71% van de mensen de stoel op zijn ideale zithoogte kan instellen.
         
 

Er bestaan ook gasveren die langer zijn dan 8,0 cm. Als de ontwerper een langere gasveer gebruikt, kunnen meer mensen de bureaustoel op hun ideale zithoogte instellen.

De ontwerper zorgt ervoor dat de minimumhoogte en de maximumhoogte even ver van 46,0 cm af liggen. Hij wil weten hoe lang de gasveer dan moet zijn om ervoor te zorgen dat 90% van de mensen de bureaustoel op zijn ideale zithoogte kan instellen.

         
  b. Bereken hoe lang de gasveer moet zijn. Geef het antwoord in cm, afgerond op 1 decimaal.
       

12,5 cm

  Een lange gasveer is erg duur. De ontwerper kiest er daarom voor om een gasveer van 8,0 cm te blijven gebruiken. Hij besluit om drie varianten te maken:
  - een lage variant, waarbij de zithoogte van 34,0 cm tot 42,0 cm kan worden ingesteld;
  - een middelhoge variant, waarbij de zithoogte van 42,0 cm tot 50,0 cm kan worden ingesteld;
  - een hoge variant, waarbij de zithoogte van 50,0 cm tot 58,0 cm kan worden ingesteld.
         
  c. De ontwerper beweert dat er zo voor meer dan 99% van de mensen een stoel met hun ideale zithoogte is. Onderzoek of hij gelijk heeft.
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)