Nomogrammen

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Een nomogram is een handige manier om een formule met meerdere variabelen in een plaatje om te zetten.

Laten we beginnen met het allereenvoudigste nomogram dat er bestaat.
Ik heb de formule A + B = C, en wil graag waarden van A, B of C berekenen als ik de andere twee heb.
Dan kan ik dat natuurlijk makkelijk uit mijn hoofd, maar ik ben nogal gek op plaatjes. Met de figuur hiernaast kan ik deze berekeningen ook maken, maar dan visueel.

Stel bijvoorbeeld dat ik  B wil berekenen met A = 2 en C = 6.
 

   
Dan leg ik een liniaaltje over de drie lijnen hiernaast en zorg ervoor dat het liniaaltje over A = 2 en C = 6 ligt. Zoals het blauwe liniaaltje hiernaast.
Daarop kan ik dan aflezen dat B = 4.

En zo laat het rode liniaaltje zien dat de oplossing van  C = 3 en B = 0  gelijk is aan A = 3.

Goed, tot zover is het allemaal nog niet zo spectaculair. Eigenlijk heb ik alleen maar laten zien dat 2 + 4 = 6 en dat  0 + 3 = 3.

Maar nu komt de slimme gedachte:

 

Als je de vergelijking   f1(a) + f2(b) = f3(c) wilt weergeven,
Vervang dan A, B en C in het basisnomogram
door de a, b en c waarvoor  f1(a) = A,  f2(b) = B en  en  f3(c) = C.

       
Het werkt als volgt:
Stel dat ik A + B2 = C wil weergeven in zo'n nomogram.
Dan maak ik er precies zo eentje als hierboven, alleen zet ik op de B-lijn in plaats van B nu B. Als ik dan het kwadraat daarvan neem klopt het, want dan komt er precies B uit. 
Dat is hiernaast gebeurd.

De rode lijn geeft bijvoorbeeld weer dat  1 + (3)2 = 4.

Natuurlijk is het mooier om dan de B-lijn een "gewone"schaalverdeling te maken.
Het getal 1 komt dan op de plaats waar eerst 12 stond, het getal 1,1 op de plaats waar eerst 1,12 stond (dat is 1,21) enzovoorts.
       
Hiernaast is dat gebeurd.

Je ziet dat die B-schaal nu niet meer lineair is.
Zo is de plaats van bijvoorbeeld 1,4 gevonden door 1,42 = 1,96 te berekenen en dat streepje van 1,4 op de "oude" 1,96 plaats te zetten.

Bij het blauwe lijntje kun je nu op de A-lijn aflezen dat de vergelijking  ? + 1,62 = 3  als oplossing heeft ongeveer ? = 0,4  (met een fijnere onderverdeling van de A-lijn zou je misschien zelfs  0,44 kunnen vinden...)
       
           
1. Maak een nomogram voor de vergelijking   x2 + y  =  2z
           
2. Maak een nomogram voor de vergelijking   1/2x + y  =  1/z
           
En nu vermenigvuldigen.
       
Tot nu toe waren het steeds vergelijkingen van de vorm  f(A) + f(B) = f(C).
Maar met vermenigvuldigingen wil het ook!
Neem de allereenvoudigste vermenigvuldiging:  A B = C
       
Als je van beide kanten de logaritme neem krijg je:  log(A B) = log(C)
Schrijf de linkerkant nu anders:  log(A B) = log(A) + log(B)
Dus dan staat er  log(A) + log(B) = log(C).
En dat is er weer precies zo eentje als aan het begin van deze les, met f(A) = log(A)

Hiernaast staan de oorspronkelijk A-B-C lijntjes, nu met een logaritmische schaal.
Het blauwe liniaaltje geeft bijvoorbeeld dat 10 1000 = 10000

Je ziet dat op deze manier die getallen wel erg snel veel groter worden.
Daarom is hieronder het onderste gedeelte nog een keer getekend, deze keer wat "uitgerekt" en ook horizontaal neergelegd.
       

       
Hieronder zie je in een paar voorbeeldjes nog eens dat het "echt werkt":
       

       
En dan combineren natuurlijk!
       
Nu we eenmaal doorhebben hoe je kunt optellen en vermenigvuldigen met zulke nomogrammen, kun je natuurlijk ook combinaties maken.
Zo kun je bijvoorbeeld de vergelijking  A B3 = C  eenvoudig herschrijven:
log(A B3) = log(C)
⇒   log(A) + log(B3) = log(C)
⇒  log(A) + 3log(B) = 1/2log(C)
En daar is alweer een f(A) + f(B) = f(C).......
       
           
3. Maak een nomogram voor de vergelijking  A B C = 1
           
4. De Body-Mass index (BMI) is een getal dat aangeeft of je overgewicht hebt of niet. 
Je berekent de BMI als volgt:  BMI = G/L2  waarbij G je gewicht in kg is, en L je lengte in cm.
De BMI varieert zo ongeveer tussen de 15 en de 40. Bij 15 heb je ernstig ondergewicht, bij 40 ben je veel te zwaar.

Hier staat zeer een eenvoudig programmaatje om je BMI te berekenen:

Maar het kan natuurlijk nog veel handiger door een nomogram te maken wat je op jouw WC kunt hangen.
Maak zo'n nomogram voor gangbare waarden van BMI, G en L.

           
5. Een hardloper loopt afstanden tussen de 5 en 10 km, met snelheden tussen de 10 en 20 km/uur.
Hij wil graag bij een gelopen afstand en tijd direct zijn gemiddelde snelheid af kunnen lezen.
Maak een nomogram voor hem waarmee hij dat kan doen.
           
Ongelijke afstanden.

Tot nu toe waren die drie evenwijdige lijnen voor A, B en C op gel;ijk afstand van elkaar.
Wat zou er bijvoorbeeld gebeuren als je de afstand tussen BC het dubbele van de afstand tussen AB maakt?
       
Dat kun je het best zien aan het allereerste simpele nomogram dat ik liet zien.
Dat staat nog een keer hiernaast.

Aan die rode lijnen zie je dat, als B 1 toeneemt bij vaste A (in dit geval A = 0) dat dan C ook 1 toeneemt.
Een aan die blauwe lijnen zie je, als A  1 toeneemt bij vaste B (in dit geval B = 2) dat dan C ook 1 toeneemt.
Dat betekent dat A en B beide cofficint 1 zullen bijdragen aan C.
De vergelijking is daarom 1 A + 1 B = pC  en door de keuze van de C-schaal kun je p instellen.

       
Hiernaast zie je de situatie waarin de afstand BC het dubbele van AC is.
Nu zorgt een B-toename van 1 voor een C-toename van 2/3. En een A-toename van 1 zorgt voor een C-toename van 4/3
De vergelijking zal daarom zijn  4/3A + 2/3B = C  ofwel  4A + 2B = 3C.

Dat zit hem natuurlijk in de onderstaande gelijkvormige driehoeken:
 
 

Daarin geldt  1/(p + q) = Δc/q  ofwel  Δc = q/(p + q)  Dus bij toename van 1 van A neemt C toe met q/(p + q)
En op dezelfde manier krijg je met zo'n driehoek vanaf de andere kant getekend, als B met 1 toeneemt een toename van   p/(p + q) van C. Dat geeft de vergelijking   q/(p + q) A + p/(p + q) B = C 
Dat schrijf je mooier als  qA + pB = (p + q)C
       

Als  AC : BC = p : q  dan zijn de cofficinten van A en B gelijk aan  q en p

       
De cofficint van C kun je natuurlijk kiezen door de schaalverdeling van C geschikt te maken., zoals het volgend voorbeeld wel duidelijk zal maken.

Voorbeeld.
Maak een nomogram voor  de vergelijking  2A + 3B = 10C

Omdat de cofficinten van A en B gelijk zijn aan 2 : 3  kiezen we afstanden
AC : BC = 3 : 2
Als je de vergelijking door 10 deelt staat er  0,2A + 0,3B = C
Dus als A en B beiden met 1 toenemen moet C met 0,2 + 0,3 = 0,5 toenemen.

Dat geeft het nomogram hiernaast.

De blauwe lijn laat bijvoorbeeld zien dat 2 3,5 + 3 1 = 10 1
 

           
6. Maak een nomogram voor de vergelijking  4A + 2B  = 5C
           
7. Neem de vergelijking  A + B = C + 4
           
  a. Leg uit hoe je daar heel makkelijk een nomogram van kunt maken door een geschikte verandering van de C-lijn.
           
  b. Maak een nomogram voor de vergelijking  2A + 3B - 12 = 4C
           
         

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)