Wiskundige modellen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Een wiskundig model is een formule die iets uit de werkelijkheid beschrijft.
In praktijk wordt zo'n model met veel bloed zweet en tranen opgesteld. Men doet ergens metingen aan, zet die in een tabel, en tekent daar een grafiek van.
Aan de hand daarvan gaat men proberen een passende formule bij zo'n grafiek te vinden. Daarbij spelen allerlei eigenschappen een rol.
 
Als men eenmaal zo'n model heeft opgesteld gaat men daarmee proberen nieuwe dingen te voorspellen. Die voorspellingen zullen nooit precies kloppen, maar "bijna"  vinden de wetenschappers al heel mooi. Als er té grote afwijkingen zijn, dan moet het model worden aangepast. Dat geeft een soort "versie 2" die ook weer voorspellingen geeft die weer getest kunnen worden, en zo gaat dat maar door.

Omdat de uitkomsten van dingen die je in de praktijk meet altijd "ongeveer" zijn (metingen en modellen zijn nou eenmaal niet oneindig nauwkeurig) zul je die uitkomsten dus ook best mogen benaderen met je rekenmachine.
Hier volgen een aantal opgaven over modellen om je rekenmachinegebruik mee te oefenen.

 
  OPGAVEN
1. Het aantal mobieltjes in Nederland neemt sterk toe. Een conciërge van een middelbare school heeft een poosje bijgehouden hoeveel mobieltjes er waren onder de leerlingen. Voor de eerste vijf maanden vond hij de volgende tabel:
maand t 1 2 3 4 5
aantal A 20 24 30 37 45
De man heeft wiskunde in zijn pakket gehad en ontwikkelt de formule  A(t) = 16 • 1,22t
a.

In welke maand wijkt het voorspelde aantal procentueel het meest af van het werkelijke aantal?

     

t = 4 (4,2%)

b. Bereken met deze formule wanneer er voor het eerst 700 mobieltjes zullen zijn.

t = 16

Maar dat is nou net het probleem: de school heeft maar 600 leerlingen, dus het model van de conciërge kan nooit kloppen. Haastig en met een rood hoofd stelt de man een nieuwe formule op:
c. Is deze formule voor de eerste 5 maanden slechter of beter dan de eerste formule?
     
d. Bereken met deze formule wanneer er voor het eerst 400 mobieltjes zullen zijn.

t 21,9

     
e. Onderzoek wanneer beide modellen een verschil van ongeveer 120 mobieltjes geven.

t 16

     
f. Zullen er volgens deze tweede formule op deze school ooit 400 mobieltjes komen? en 450? en 500?

max 490

2. Heineken houdt een korte maar intensieve reclamecampagne om de verkoop in België te stimuleren. Zoals verwacht neemt de verkoop van Heineken bier direct na aanvang van de reclamecampagne toe. Echter, zodra men stopt met de campagne in België neemt die verkoop langzaam weer af. Belgische reclame- en bierexperts hebben aan de hand van ervaringen met eerdere reclamecampagnes het volgende model opgesteld:

Daarin is L het aantal liter bier per maand en t de tijd in maanden met t = 0 het tijdstip van de start van de campagne.
a. Na hoeveel maanden zal men 900000 liter per maand verkopen?

9,2 en 24,1

       
b. Na hoeveel maanden stopt men met de campagne? Hoe groot is de verkoop op dat moment?

t = 16,6
V = 120000

       
c. Op welk moment verkoopt men evenveel als in het begin?

t = 33,3

       
d. Hoe groot zal de verkoop op de lange duur worden?

600000

3. Vroeger als student vond ik het regelmatig erg leuk om rauwe eieren vanaf een verdieping van de studentenflat naar beneden te gooien. Als je die in het gras gooit dan kunnen ze nog vanaf erg grote hoogte heel blijven. 
Een groot aantal metingen leverde mij de volgende tabel.
verdieping V 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
percentage P 100 66 52 41 32 24 16 10 3 0
V is het verdiepingnummer van waaraf de eieren gegooid worden, P is het percentage eieren dat de val overleeft.
Een grafiek van de door mij gevonden meetwaarden zie je hiernaast.  Ik probeer het volgende wiskundige model:

a. Onderzoek bij welke meetwaarde deze formule model het meest afwijkt (absoluut) van de gemeten waarde
Elke verdieping is 3,60 meter hoog, en daarom kan ik de bovenstaande formule veranderen in

b. Leg uit waar dat getal 0,277 vandaan komt.
     
c. Vanaf welke hoogte zou volgens dit model 80% van de eieren overleven?

2,68 m

Mijn collega komt met een ander model. Zij beweert dat geldt:    P(h) = 100 - 18√h
d. Vind je haar model beter of slechter dan het mijne? Leg uit waarom.
     
e. Vanaf welke hoogte zou volgens dit model 80% van de eieren overleven?
   

1,23 m

f. Zijn er hoogtes waarop onze modellen precies hetzelfde percentage voorspellen? Zo ja, Welke zijn dat?

25,9 m

   
Een andere collega gaat zich er ook met bemoeien. Hij vindt dat de ei-grafiek hierboven de vorm van een parabool heeft, en stelt het volgende model voor:    P(h) = a h2 + b h + c
g. Omdat het model in ieder geval bij h = 0 moet opleveren P = 100 kun je c al berekenen. Doe dat.
   

c = 100

h. Omdat dit model ook nul oplevert bij de negende verdieping (h = 32,4) zou je kunnen eisen dat de top van die parabool bij (32.4, 0) ligt.
Zoek uit voor welke a en  b dit model daarmee klopt.
       

0,0953 en 6,173

4. Hiernaast is het zijaanzicht van een skatebaan getekend. Deze baan begint in punt A en eindigt in punt C, zes meter horizontaal vanaf A
De formule die de vorm van de baan beschrijft is:

H(x) = 0,1x3 – 0,6x2 + 3,2

Bereken voor welke waarden van x de baan lager dan 2 meter is.
     

01,66 < x < 5,62

   
5. De verkoop van Italiaans ijs in Nederland gedurende één jaar wordt aardig beschreven door de volgende formule:

Y(w) = 5,5w3 - 450w2 + 8600w + 70000

Daarin is  Y de hoeveelheid verkocht ijs (in liter) en w  het weeknummer, met week 0 van 21 tm 27 maart.  
  a. In hoeveel weken werd er meer dan 90000 liter ijs verkocht?

22 weken

  b. Bereken hoeveel liter verschil er tussen de maximale en de minimale ijsverkoop is.
       

73060 liter

         
6. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1983.
         
  De voorraadkosten van een verffabriek vertonen in de jaren 1981/1982 het volgende verloop:
         
 

         
  Het normale niveau van de voorraadkosten bedraagt f 10000,-
Het punt 0 op de horizontale as correspondeert met 1 april 1982.
De kostenverandering hing samen met een voor het voorjaar 1982 voorziene, tijdelijke productieverhoging.
         
  a. In welke maand (en welk jaar) begonnen de voorraadkosten af te wijken van het normale niveau?
       

november 1981

  Een medewerker heeft voor het gedeelte van de grafiek dat een afwijking van het normale niveau laat zien, een formule opgesteld:  V = t3 - 363t + 10000    (V = voorraadkosten in guldens, t = tijd in weken)
Ga bij de beantwoording van de vragen b en c uit van deze formule.
         
  b. Op welk tijdstip t begint (respectievelijk eindigt) de afwijking van het normale niveau?
       

-19.05 en 19.05

  c. Bereken hoeveel procent de maximale afwijking van het normale niveau bedroeg.
       

2622

         
7. examenvraagstuk Wiskunde A, VWO, 1984

Door een technische storing in de air-conditioning van een groot gebouw neemt het zuurstofgehalte tijdelijk af.
De technische staf heeft het verloop van het zuurstofgehalte beschreven met het volgende model:

         
 

         
  Hierin is t de tijd in minuten, gerekend vanaf het moment dat de storing begon, en is Z het aantal cm3 zuurstof per liter lucht op tijdstip t. Op het moment t = 0 is het zuurstofniveau normaal.
         
  a. Na verloop van tijd nadert het zuurstofgehalte weer tot het normale niveau. Toon aan dat het gekozen model hiermee in overeenstemming is.
         
  b. Bereken in het model het tijdstip waarop het zuurstofgehalte minimaal is.
       

t = 10

  c. Iemand beweert dat het zuurstofgehalte 1 uur na het begin van de storing op 90% van het normale niveau is. Onderzoek of die uitspraak klopt met het model.
         
  d. De medische staf vindt een zuurstofgehalte van 80% van het normale niveau nog net toelaatbaar. Schat met behulp van de grafiek van Z gedurende hoeveel minuten het zuurstofgehalte ontoelaatbaar laag is.
Bereken in één decimaal nauwkeurig het aantal minuten dat, volgens het model, het zuurstofgehalte ontoelaatbaar lag is.
       

22,4

   
8. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2007.

Een hardloopster is gespecialiseerd op de 100 meter. Bij dit atletiekonderdeel moet je zo snel mogelijk je topsnelheid halen en die dan proberen vast te houden tot de finish. Haar trainer heeft haar sprint laten onderzoeken met behulp van supersnelle camera’s. In onderstaande figuur is het verband tussen de snelheid en de afgelegde afstand in een grafiek weergegeven.

         
 

         
  Op verzoek van de trainer heeft een wiskundige een formule gemaakt die goed past bij deze grafiek.
Die formule is:
 

         
 

In deze formule is v de snelheid in kilometer per uur en x de afgelegde afstand in meter.

In de eerste figuur zie je dat de maximale snelheid ongeveer 38 km per uur is en de snelheid bij de finish ongeveer 28 km per uur.

         
  a. Bereken met welke snelheid de hardloopster volgens de formule de finish passeert. Geef je antwoord in één decimaal.
       

27,9 km/uur

  b. Bereken de hoogste snelheid die de hardloopster bereikt volgens de formule. Geef je antwoord in één decimaal.
       

38,3 km/uur

  In de grafiek zie je dat de snelheid tijdens een gedeelte van de sprint hoger dan 35 km per uur is.
         
  c. Bereken met behulp van de formule hoeveel meter de hardloopster aflegt met een snelheid die hoger is dan 35 km per uur.
       

44,0 m

         
9. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2007. (gewijzigd)
         
  Een mobiele telefoon werkt op een batterij. Zo'n telefoon kan vrij lang aanstaan als je niet belt. De maximale tijd dat de mobiele telefoon aan kan staan zonder gebruikt te worden heet de stand-by tijd. Als je wel belt, verbruikt de telefoon meer energie. De batterij is dan sneller leeg.

Bij een telefoon op stand-by stand met een moderne batterij wordt het spanningsverloop benaderd door de formule:

 

         
  Hierin is V  de spanning van de batterij in Volt en t de tijd in uur.
Op tijdstip t = 0 is de batterij vol.

De telefoon staat vanaf het ogenblik waarop de batterij net helemaal is opgeladen stand-by totdat de spanning tot 0 is gedaald. In minuten nauwkeurig is deze stand-by-tijd gelijk aan 141 uur en 39 minuten.  
         
  a. Bereken deze tijd in seconden nauwkeurig.
       

141:39:20

  De spanning die de batterij levert kun je aan de rechterkant van het scherm aflezen. Daar zijn vier blokjes die aan of uit kunnen staan. Als de batterij vol is, staan alle blokjes (nummers 1 t/m 4) aan.
Bij een volle batterij bedraagt de spanning ongeveer 3,2 Volt.
Het aantal blokjes dat 'aan' staat wordt bepaald door het percentage van de maximale spanning. Als het percentage minder dan 75% bedraagt kan er niet meer getelefoneerd worden en zijn alle blokjes uit. Zie onderstaande tabel.
         
 
blokjes die zichtbaar zijn percentage van de
maximale spanning
1,2,3,4 100 - 97
2,3,4 97 - 94
3,4 94 - 88
4 88 - 75
geen 75 - 0
         
  Iemand laadt de batterij helemaal op. Vervolgens legt hij de telefoon in de stand-by stand weg. De telefoon wordt niet gebruikt. Na verloop van tijd gaat blokje nummer 1 uit. Een tijd nadat blokje nummer 1 is uitgegaan, gaat blokje nummer 2 uit. Juist op dat moment pakt hij de telefoon, ziet blokje nummer 2 uitgaan en denkt dat de telefoon op de helft van zijn stand-by tijd is. Er zijn dan immers nog twee blokjes (nummer 3 en 4) van de vier zichtbaar
         
  b. Onderzoek met behulp van de gegeven formule of de telefoon op het moment dat blokje nummer 2 uitgaat, op de helft van zijn stand-by tijd is.
         
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2006

In de volgende tabel staan de wereldrecords hardlopen bij de mannen tot en met september 2003 op een aantal afstanden.
         
 
Afstand (in meters) Tijd Gemiddelde snelheid (in km/uur)
100
200
400
800
1000
1500
2000
3000
5000
10 000
9.78
19.32
43.18
1 : 41.11
2 : 11.96
3 : 26.00
4 : 44.79
7 : 20.67
12 : 39.36
26 : 22.75
36,8
37,3
33,3
28,5
27,3
26,2
25,3
24,5
23,7
22,7
         
  In de tabel zie je bijvoorbeeld dat het wereldrecord op de 1000 meter 2 : 11,96 was. dat betekent 2 minuten en 11,96 seconden. Afgerond op één decimaal was daarbij de gemiddelde snelheid 27,3 km/uur.

Het verband tussen de afstanden en de gemiddelde snelheid uit de tabel kunnen we benaderen met de volgende formule:

 

         
  In deze formule is v de gemiddelde snelheid in km/uur en a de afstand in kilometer.
De gemiddelde snelheden volgens deze formule komen niet precies overeen met de uitkomsten uit de bovenstaande tabel.
         
  a. Bereken voor de 3000 meter (dus a = 3) hoeveel de gemiddelde snelheid volgens de formule afwijkt van de uitkomst uit de tabel.
       

0,2 km/uur

  Met deze formule kun je bij elke afstand boven de 100 meter de gemiddelde snelheid berekenen die hoort bij het denkbeeldig gelopen wereldrecord. Voor bijvoorbeeld een afstand van 2283 zou het wereldrecord met een gemiddelde snelheid van 24,82 km/uur zijn gelopen.
         
  b. Bereken op welke afstand het denkbeeldige wereldrecord een gemiddelde snelheid van precies 30 km/uur op zou leveren.
       

608 en 37,1m

  In de tabel is de gemiddelde snelheid het hoogst bij de 200 meter. De formule van v is niet maximaal bij de 200 meter maar bij een afstand tussen de 100 en 200 meter.
         
  c. Bereken in meters nauwkeurig bij welke afstand de gemiddelde snelheid zo groot mogelijk is volgens de formule van v
       

151 m

         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)