Twee soorten rijen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Hieronder staan een aantal "verhaaltjes" waar een rij getallen bij hoort.
Schrijf die rijen getallen op en probeer ze in twee categorieën te verdelen. Doe dat door van elke rij een recursievergelijking te maken.
       
     

recursievergelijking:
  a. Ik heb een  bedrag van €400,- op een bankrekening staan en krijg daarover elk jaar 3% rente.

un = 1,04· un-1  met u0 = 400
  b. Je reactievermogen wordt slechter als je meer glazen alcohol hebt gedronken. In het verkeer is de reactietijd van een proefpersoon gelijk aan 0,8 seconden. Bij elk gedronken glas alcohol wordt die tijd 0,2 seconden langer.

un = un-1 + 0,2  met u0 = 0,8
  c. Een jongetje heeft met Sint Maarten in totaal 126 snoepjes opgehaald. In de volgende dagen eet hij er daarvan elke dag 7 op.
un = un-1 - 7  met u0 = 126
  d. Over het ontstaan van het schaakspel doet het volgende verhaal de ronde. De uitvinder ervan (Sissa) mocht van zijn koning als beloning vragen wat hij maar wilde. Hij vroeg één graankorrel voor het eerste veld van het schaakbord, twéé voor het tweede veld, vier voor het derde veld, acht voor het vierde veld, enz. Dat leverde hem een boel graankorrels op!

un = 2 • un - 1  met  u1 = 1
  e. De eerste keer dat men een oproep om geld te doneren aan een goed doel uitzendt levert dat 45000 donaties op. Elke volgende keer wordt dat aantal donaties kleiner omdat het aantal nieuwe mensen dat bereikt wordt kleiner wordt. Het blijkt dat het aantal donaties bij elke volgende uitzending steeds ongeveer 10% kleiner wordt.

un = 0,9un -1  met  u1 = 5800
  f. Bij een sponsorloop krijgt Danieke van haar buurvrouw  €4,-  en verder voor elk rondje dat ze loopt nog eens €0,15 extra.

un = un - 1 + 0,15  met  u0 = 4

g. Ik heb een spaarbedrag van  €35000,- in een sok gestopt en die bewaar ik onder mijn bed. Door de inflatie wordt het bedrag elk jaar 2% minder waard.
un = un-1•0,98  met u0 = 35000
Welke horen bij elkaar?
Heb je intussen door dat hier twee verschillende systemen aan 't werk zijn?

a-d-e-g  horen bij elkaar, en b-c-f  ook......

Dat komt hierdoor: 

• Bij  a-d-e-g  ziet de recursievergelijking eruit als  un = un-1 +  a  (waarbij a eventueel een negatief getal is).
De regelmaat van deze rijen is, dat de opeenvolgende termen steeds PLUS hetzelfde getal zijn.
Zo'n rij noemen we een rekenkundige rij.
• Bij b-c-f   ziet de recursievergelijking er uit als  un = un-1 • a. 
De regelmaat van deze rijen is, dat de opeenvolgende termen steeds KEER hetzelfde getal zijn.
Zo'n rij noemen we een meetkundige rij.
Dus:

Weet je het nog?
Nou hoop ik dat dit je ergens bekend voorkomt....
Dat je nu een Déja Vu hebt....

Weet je het nog?
We zijn deze twee systemen  ("PLUS" en "KEER") namelijk ook al eerder bij functies tegengekomen. Toen heette het PLUS-systeem "lineair"  (in plaats van rekenkundig) en het KEER-systeem "exponentieel"  (in plaats van meetkundig).

Weet je het nog?
Dat PLUS-getal heette bij lineaire functies het hellinggetal (of ook wel richtingscoëfficiënt) en dat KEER-getal heette bij exponentiële functies de groeifactor.

Weet je het nog?
We hadden toen ook formules voor deze twee systemen. De lineaire formule was  y = ax + b en de exponentiële formule was  y = B • gx 
Directe formules voor rijen.
Maar toen, vroeger, lang geleden, toen hadden we nog nooit van rijen gehoord. Toen hadden we geen recursieformules, maar gewone formules, waar je een x kon invullen en waar dan een y uitkwam. Omdat een meetkundige en een rekenkundige rij in feite hetzelfde zijn als een lineair en een exponentiele functie kunnen we voor dit soort rijen ook de "gewone" formule van vroeger natuurlijk gebruiken. Daarbij is de x nu vervangen door een n  en de y door een un.
Zo'n "gewone" formule heet bij rijen een directe formule. Het woord zegt het eigenlijk al: je kunt een un direct uitrekenen als je n weet, zonder alle vorige un te moeten berekenen.

Maar er zijn twee belangrijke verschillen:

Verschil 1.   Rijen zijn discreet.

Denk er goed om dat de n-waarden alleen gehele getallen kunnen zijn. 't Zijn immers de nummers?
Dat betekent ook dat een eventuele grafiek er niet uit zal zien als een kromme, maar als een verzameling losse stippen. 
Vergelijk de volgende twee figuren met elkaar:

   

Verschil 2.   De beginwaarde.

 

Bij functies was het allemaal makkelijk:  Bij de formules y = ax + b  en   y = B • gx  waren de constanten  b en B de beginwaarden. Dat stelde voor de y die hoorde bij x = 0  (in de grafiek het snijpunt met de y-as). Maar we hebben al gezien dat bij rijen de eerste soms u0 heet en soms u1. Dat hangt een beetje van het verhaaltje eromheen af. soms is het logischer om de eerste u0 te noemen en soms is u1 logischer.
Kijk nog maar eens naar de verhaaltjes helemaal bovenaan. Bij twee daarvan (d en e) vond ik het logischer om de eerste van de rij u1 te noemen. Jij ook????

Als de eerste u0 heet, dan is er niks aan de hand, dan kun je voor een directe formule gewoon u0 = beginwaarde = b / B nemen. Maar als de eerste u1 heet, dan moet je uitkijken; kijk maar:
   
  voorbeeld.
Geef een directe formule voor de rij  u1 = 3, u2 = 7, u3 = 11,  u4 = 15, ...
Je ziet natuurlijk dat dit een rekenkundige rij is, dus de directe formule heeft de vorm un = a • n + b.
Daarbij is a  het getal dat er steeds bijkomt, dus in dit geval a = 4. Maar als je nu zonder na te denken voor het begingetal b = 3 neemt staat er un = 4n + 3 en dat klopt niet!  Dat zou bijvoorbeeld geven u4 = 4 • 4 + 3  =19 en je ziet in de rij dat u4 gelijk is aan 15.
Er zijn twee mogelijke oplossingen voor dit probleem:
     
 
  Oplossing 1.
Bereken wat u0 zou zijn geweest als hij had bestaan en neem dat als beginwaarde.
Dat zou in dit geval geven u0 = 3 - 4 = -1 = b   en dus  un = 4n - 1 en die klopt wél.
       
  Oplossing 2.
Vervang n in de vergelijking door n - 1
Dat zou in dit geval geven  un = 4(n - 1) + 3  en die klopt ook.
(en als de rij bijvoorbeeld was begonnen met u4, dan vervingen we n door n - 4 natuurlijk...)
       
   
Samengevat:
   
 

   
   
 OPGAVEN
   
1. Geef directe formules voor de voorbeelden a  t.m. g  bovenaan deze les.
         
2. Geef van de volgende rijen een directe vergelijking en een recursievergelijking
         
  a. 12  -  26  -  40  -  54  -  68  -  ....  
       
  b. 40  -  60  -  90  -  135  -  ....  
         
3. Een octaaf op een piano bestaat uit 12 tonen.
De frequenties van deze tonen vormen een meetkundige rij.
De centrale C van een piano heeft frequentie 256 Hz. De C die twaalf tonen hoger ligt heeft frequentie 512 Hz.

     
  a. Stel een directe en een recursieve formule op voor de frequentie fn van toon nummer n als de C nummer 1 heeft.
     
  b. Bereken vervolgens met deze directe formule de frequentie van de A uit deze toonladder.
         
4. Omdat de grote wijzer van een klok sneller loopt dan de kleine wijzer haalt hij de kleine wijzer af en toe in.
Op tijdstip t = 0 is het precies 0:00 uur.

De tijdstippen waarop beide wijzers precies op dezelfde plaats staan vormen een rekenkundige rij met  recursieformule  tn = tn-1 + 720/11  waarbij t in minuten is gegeven.

       
  a. Toon aan dat dat juist is.  
       
  b. Geef een directe formule voor deze rij  
         
5. Papierformaten zijn niet zomaar gekozen....
Als je een kopietje op A4-papier wilt vergroten naar A3-formaat, dan moet dat A3-papier natuurlijk wel dezelfde verhoudingen hebben als het  A4 papier, anders zou de "vorm" van je plaatje veranderen.
  Verder zijn de papierformaten zó gekozen dat  de lengte van een volgend formaat steeds gelijk is aan de breedte van de vorige. Hiernaast zie je hoe een vel A0-papier is onderverdeeld in steeds kleinere formaten.

     
  a. Als een formaat lengte L en breedte B heeft, dan heeft het volgende formaat dus lengte B en breedte 1/2L.
Laat zien dat daaruit, en uit de gelijkvormigheid van het papier, volgt dat de afmetingen van de verschillende formaten een meetkundige rij vormen met factor √2.
         
  Omdat geldt  L = B√2 en omdat A0 papier een oppervlakte van 1 m2 heeft kun je aantonen dat de afmetingen van A0-papier 1189 bij 841 mm zijn.
         
  b. Geef die afleiding.
       
  c. Geef een directe formule voor de lengte van An-papier.  
         
  Ook de oppervlaktes van de opeenvolgende papiersoorten vormen een meetkundige rij.
Daarvoor geldt natuurlijk  On = 1/2 • On-1  met  O0 = 1
         
  d. Onderzoek met deze formule en je GR welk papiernummer voor het eerst een oppervlakte kleiner dan 1 mm2 heeft.

A20
       
  e. Geef een directe formule voor On  en controleer daarmee je antwoord op vraag d).  
         
6. Voor een rij getallen geldt dat  u4 = 162  en  u7 = 4374.
         
  a. Bereken u9 als het een rekenkundige rij is

7182
         
  b. Bereken u9 als het een meetkundige rij is.  

39366
         
7. Drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij hebben som 13/4 en product 1/8.
       
  a. Welke drie termen zijn dat?

1 - 1/2 - 1/4
       
  b. En hoe is dat als de rij rekenkundig is?

≈  0,23 - 7/12 - 0,94

         
8. De draagtijd van een rat is ongeveer een maand. Iets minder zelfs, en dat betekent dat een rat ongeveer elke maand een nest kan krijgen. Zo'n nest bestaat uit 8 - 12 nieuwe ratten, die ook direct zelf weer nakomelingen kunnen krijgen.
Neem aan dat de helft van de geboren ratten vrouwtjes zijn en de helft mannetjes. Neem verder aan dat elk vrouwtje inderdaad iedere maand (behalve de eerste) een nest van precies 10 ratjes krijgt, en dat er helemaal geen ratten doodgaan. Neem tenslotte (voor het gemak) aan dat het aantal ratten geen geheel getal hoeft te zijn.

Stel dat we beginnen met een populatie van 20 vrouwtjesratten en 20 mannetjesratten
Dan vormt het aantal vrouwtjesratten in de loop van de maanden een meetkundige rij.
         
  a. Laat zien dat dat zo is en geef de reden van die rij.
         
  b. Leg uit waarom het totaal aantal ratten dan ook een meetkundige rij vormt, met dezelfde reden.
         
  Als we de nestgrootte N noemen (in plaats van 10) en het beginaantal ratten B (helft mannetje, helft vrouwtjes) dan geldt de formule:   At = B • (1 + 0,5 • N)t   met A het totaal aantal ratten in maand nummer t.
         
  c. Toon dat aan.    
         
  Voor een bepaalde rattenkolonie werden de volgende tellingen gevonden:
         
 
maand 1 2 3 4
totaal aantal 60 300 1500 7500
         
  d. Bereken de nestgrootte voor deze kolonie ratten
         
9. Gegeven is de rij breuken:  4/9   7/14   10/19    13/24    16/29    .....
         
  a. Geef van zowel de rij getallen in de tellers als die in de noemers de directe formule.
Noem de eerste uit de rij steeds u1.
         
  b. Geef de directe formule van de rij breuken.
         
  c. Bij welke grenswaarde komt de rij steeds dichter te liggen? Vanaf welke n verschilt un minder dan 0,01 van deze grenswaarde?
       

3/5 en 28
         
10.

x, y, z vormen een meetkundige rij met reden r 
x, 2y, 3z vormen een rekenkundige rij.

Waaraan is r dan gelijk?
       

1/3
         
11.

Van een een rekenkundige rij u1 - u2 - ... is bekend dat de eerste drie termen samen gelijk zijn aan 12.
Verder is gegeven dat de  u1 - u2 - u6  een meetkundige rijtje  is.

Bereken u10
       

28
         
12.
   
  a. Bewijs dat  un + 3 = un    
         
  b. Bereken u2012    
       

1/2
         
13. Gegeven is de directe vergelijking  u(n) = 92-n • 4n + 1 
Toon algebraïsch aan dat dit een meetkundige rij is, en geef de beginwaarde en de reden.
       

144 en 4/9
14. Vlaamse Olympiade.
         
 
  Wat is de volgende term?
       

1
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)