© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Olympiadevraagstuk.

Van twee concentrische cirkels is de grootste 3 keer zo groot als de kleinste.
AB is een middellijn en BC de raaklijn aan de kleinste cirkel.

Bereken BC als AC = 12.

     

24√2
2. In een cirkel met middellijn AB middelpunt M is DC evenwijdig aan AB, en hoek CBA is 80º.

Bereken hoek AMD.

     

20º
3. In de figuur hiernaast zijn A, B en C punten op de cirkel.
CD is een raaklijn aan de cirkel, en BC is een middellijn van de cirkel.
AB  = 5 en AD = 4
Bereken de lengte van CD.

     

6
       
4. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2002

In de bovenste figuur hiernaast zijn twee elkaar rakende cirkels c1 en c2 getekend met middelpunten respectievelijk M1 en M2. Het raakpunt van deze cirkels is S.
Lijn l raakt c1 in P en c2 in Q.
De gemeenschappelijke raaklijn aan c1 en c2 in S snijdt lijn l in punt T.

     
  a. Bewijs dat de punten P, Q en S op één cirkel met middelpunt T liggen
       
  Verder is gegeven dat QR een middellijn van c2 is. Zie de onderste figuur hiernaast.

     
  b. Bewijs dat P, S en R op één lijn liggen
       
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011.

Twee cirkels c1 en c2 met middelpunten M en N snijden elkaar in de punten A en B.
Het verlengde van de straal MB snijdt c2 in het punt C en het verlengde van de straal NB snijdt c1 in het punt D. Zie de figuur.

Bewijs dat de punten M, N, C en D op één cirkel liggen.

 
       
6. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012.

Op een cirkel met middelpunt M liggen de punten A, B, C en D zo dat AC een middellijn is en de lijnstukken AB en CD evenwijdig zijn. Zie de figuur.

     
  a. Bewijs dat vierhoek ABCD een rechthoek is.
       
  Door punt D trekken we de lijn l evenwijdig aan AC.
Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in punt E. Lijnstuk ME snijdt CD in punt S.
Zie de figuur.

     
  b. Bewijs dat  ∠CSE = 3 • ∠CDE
       
7. ABC is een rechthoekige driehoek met rechte hoek C.
AD is de bissectrice van hoek A, en M is het midden van AD.

CM snijdt AB in punt E

Toon aan dat geldt:  ∠BEC = 3 × ∠BAD

       
8. PQ is een middellijn van een cirkel met middelpunt M, en diameter d
RS is een willekeurige koorde van die cirkel, maar wel zo dat RS lijnstuk  MQ snijdt.
T is het snijpunt van QS met de raaklijn aan de cirkel in Q.

Toon aan dat geldt   PS • PT = d2

       
9. Van een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek A is M het midden van BC.

De lijn door M evenwijdig aan AC wordt getekend.
Deze lijn snijdt de bissectrice van hoek C buiten de driehoek in punt P.

Toon aan dat  MP = MB

       
10. ABC is een gelijkbenige driehoek met tophoek C.
CD wordt getekend zodat CB de bissectrice van hoek ACD is, en zodat hoek BDC een rechte hoek is.

     
  a. c is de cirkel door C, B en D
M is het midden van AB.
Leg uit waarom M op c ligt.
     
  b. c snijdt AC in punt E.
Toon aan dat ED en BC elkaar loodrecht snijden.
       
11. Twee cirkels gaan door elkaars middelpunt.

MR is raaklijn aan de ene cirkel en PQ is een middellijn van de andere cirkel.

RS is de hoogtelijn van driehoek RMS

Toon aan dat  RS = 1/2 • MQ
 

       
12. In een rechthoekige driehoek met rechte hoek A is AM een zwaartelijn en AD een hoogtelijn.

Lijn PQ staat loodrecht op AM en snijdt de hoogtelijn in punt S

Toon aan dat PS = SQ
       
13. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-I
       
  Gegeven is een driehoek ABC, waarbij hoek B twee keer zo groot is als hoek C. Het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC ligt binnen deze driehoek. Middellijn AE snijdt zijde BC in punt D.
Zie de figuur.
 

       
  Bewijs dat driehoek ABD gelijkbenig is.
       
14. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-II
       
  Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 1.
Buiten de cirkel liggen punten P en Q zo dat M niet op de lijn door P en Q ligt.
Op lijnstuk MP ligt binnen de cirkel het punt P' zo dat MP' · MP = 1.
Op lijnstuk MQ ligt binnen de cirkel het punt Q' zo dat MQ' · MQ = 1.
In de figuur zijn de punten P en Q met de bijbehorende punten P' en Q' getekend.
       
 

       
  De driehoeken MP'Q' en MQP zijn gelijkvormig.
       
  a. Bewijs dit.  
       
  In de volgende  figuur zie je opnieuw de cirkel c met middelpunt M en straal 1.
Verder is een lijn l buiten de cirkel getekend.
       
 

       
 

Op l ligt het punt A zo dat lijnstuk MA loodrecht op l staat.
Op lijnstuk MA ligt het punt A' zo dat MA' · MA = 1.

In de figuur is ook een punt B op l getekend.
Op lijnstuk MB ligt het punt B' zo dat MB' · MB = 1.
       
  b. Bewijs dat B' op de cirkel met middellijn MA' ligt.
       
15. Vlaamse Olympiade.

In een cirkel met middelpunt M en straal 12 is AC een koorde.
B is een punt op AC zodat driehoek ABM een rechte hoek heeft in M en BM = 5.

Bereken de lengte van AC.
 

     

288/13
16 Twee cirkels raken elkaar in punt C.
Met middelpunt M van de grootste cirkel ligt op de kleinere cirkel.
AB is een willekeurige middellijn van de grootste cirkel

Zie de figuur.

Toon aan dat hoek a een rechte hoek is.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)