1. In een bedrijf worden kurkentrekkers gefabriceerd.
De totale kosten bij de productie kan men aflezen in de grafiek hiernaast.
Een wiskundige van het bedrijf heeft hierbij de volgende formules bedacht:
 
 
K = -0,1q2 + 1,2q            als  0 ≤ q < 5
K = 0,1q3 - 1,1q2 + 3,7q  als  q ≥ 5
 

     
  Hierbij is q de productie (in duizendtallen) en K de totale kosten (in duizenden guldens).
       
  a. Toon aan dat volgens deze formules er bij q = 5 geen "sprong" en geen "knik" in de grafiek zit.
       
  De toename van de totale kosten bij een toename van de productie met één kurkentrekker noemt men de marginale kosten. De marginale kosten mogen benaderd worden door  dK/dq.
       
  b. Toon door berekening aan dat de marginale kosten bij elke productie positief zijn. Hoe is dit ook uit de grafiek af te leiden?
       
  c. Toon door berekening aan dat de marginale kosten het kleinst zijn voor q = 5. Hoe is dit ook uit de grafiek af te leiden?
       
  d. Bereken de gemiddelde totale kosten per kurkentrekker bij een productie van 7000 stuks.
Hoe kan men uit de grafiek afleiden bij welke andere productie de gemiddelde totale kosten per kurkentrekker even groot zijn als bij een productie van 7000 stuks?
Leid deze andere productie uit de grafiek af en controleer het antwoord met de formules.
       
2. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2000.

In de economie worden vaak wiskundige modellen gebruikt. De leiding van een onderneming maakt bijvoorbeeld gebruik van dergelijke modellen bij beslissingen over de omvang van de productie. Deze opgave gaat over zo'n wiskundig model. We bekijken een fabriek waar één soort product wordt gemaakt: een lamp. We nemen aan dat de verkoopprijs van deze lamp ƒ56,- is en dat alle geproduceerde lampen verkocht worden.
De kosten om deze lampen te maken zijn afhankelijk van het aantal geproduceerde lampen. De totale kosten gedeeld door het aantal lampen noemen we de gemiddelde kosten per lamp, GK. Alle kosten zijn in guldens.
Voor deze fabriek geldt:  GK = 0,002x2 - 0,6x + 73 + 500x-1 ,
waarbij x = het aantal geproduceerde lampen.
       
  a. Bereken hoe groot de totale kosten zijn bij een productie van 125 lampen.
       
  In onderstaande figuur is een grafiek getekend van GK.
In deze figuur is ook een grafiek getekend van de marginale kosten, MK, de extra kosten voor het produceren van één extra lamp. De formule die bij de grafiek van MK hoort is MK = 0,006x2 - 1,2x + 73.
       
 

       
  In het snijpunt van de grafieken van MK en GK zijn de gemiddelde kosten minimaal. De productieomvang x is daar 155. De winst is de opbrengst van de verkoop van de geproduceerde lampen min de totale kosten van het produceren van de lampen.
       
  b. Bereken de winst die er op deze 155 lampen wordt gemaakt.
       
  Hoewel bij x = 155 de gemiddelde kosten zo laag mogelijk zijn, is de winst hier niet maximaal. De marginale kosten MK zijn hier immers lager dan 56 gulden, dus kost het produceren van een extra lamp minder dan hij opbrengt. Met andere woorden: de winst neemt door die extra lamp toe. Pas als de marginale kosten hoger worden dan de opbrengst van die extra lamp neemt de winst af.
       
  c. Bereken bij welk aantal geproduceerde lampen de winst maximaal is.
       
       
3. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2001.
 
  Bij industriële productieprocessen worden de totale productiekosten voornamelijk bepaald door de grootte van de installaties die daarvoor gebruikt worden. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de productie van plastics.
In deze opgave bekijken we zo'n productieproces. Alle bedragen in deze opgave zijn op jaarbasis. Voor een bedrijf waar een dergelijk productieproces plaatsvindt gebruikt men de volgende formule voor de kosten K:

K = 25000 • P0,62

In deze formule is K in dollars en is P de productie in tonnen per jaar.
De grafiek die bij deze formule hoort zie je in de figuur hiernaast.
In de grafiek zien we dat de kosten toenemen als de productie toeneemt. Het is de vraag of ook de marginale kosten K'  toenemen bij toenemende productie.
   
  a. Onderzoek of de marginale kosten toenemen bij toenemende productie.
       
  Ook de opbrengst hangt af van de productie. Men gebruikt hiervoor de formule:

O = 750•P

In deze formule is de opbrengst O in dollars en is P weer de productie in tonnen per jaar.

We willen nu onderzoeken op welke wijze de productie van plastics het best kan worden ingericht; de vraag is dan of de producent moet kiezen voor grootschalige dan wel kleinschalige productie. Doelstelling hierbij is dat de producent zo veel mogelijk winst wil maken.

Iemand gaat er van uit dat de maximale winst gevonden wordt als de marginale kosten K' gelijk zijn aan de marginale opbrengst O'. Hij berekent daartoe voor welke waarde van P geldt dat K' = O'.
       
  b. Bereken deze waarde van P.
       
  De in de vorige vraag berekende waarde van P levert echter niet de maximale winst op.
       
  c. Leg uit of de producent zijn productie grootschalig of kleinschalig moet inrichten om zoveel mogelijk winst te maken.
       
4. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2002.

In de economie wordt vaak gebruik gemaakt van wiskundige modellen. Daarin komen formules voor die een theoretisch verband beschrijven tussen economische grootheden.

Een producent verkoopt q eenheden van een product. De totale opbrengst is TO. In de figuur hieronder staat voor vier economische modellen een schets van de grafiek van TO.
       
       
  Als we willen weten hoe de totale opbrengst verandert bij een kleine toename van q, dan kijken we naar de marginale opbrengst MO. In de figuur hieronder zie je bij elk van de modellen uit de figuur hierboven de grafiek van de marginale opbrengst, maar ze staan niet in de juiste volgorde.
       
       
  a. Geef voor elk van de grafieken 1, 2, 3 en 4 uit de tweede figuur aan bij welk model uit de eerste figuur deze hoort. Licht je antwoord toe.
       
  We gaan model D uit de bovenste figuur verder bekijken. Stel dat voor het verband tussen q en TO een formule van de volgende vorm geldt:

TO = -0,01 • q3 + b • q2  met b een positief getal.

Bij elke waarde van b kan het maximum van TO worden berekend. De waarde van q waarbij dit maximum optreedt hangt af van b. Deze waarde van q noemen we qmax.
       
  b. Teken een grafiek van het verband tussen qmax en b. Licht je werkwijze toe.
       
5. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011.

Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden berekend met de formule;
T(q) = 0,2 • q3 - 1,2 • q2 + 4,2 • q + 1,   met q de geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en T(q) de totale kosten in duizenden euro's.
       
  a. Bereken met behulp van differentiëren bij welke productiehoeveelheid q de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn.
     

q = 3,2
  In het algemeen geldt dat de totale kosten T(q) eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. In de volgende figuur is deze situatie weergegeven.
       
  Omdat derdegraadsfuncties T met
T(q) = a • q3  +  b • q2 +  c • q + d zich onder
bepaalde voorwaarden voor a, b, c en d op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven.
Voor een bruikbare derdegraadsfunctie T moet gelden:
a > 0 , c > 0 en d > 0 .
Een voorwaarde voor b kan worden gevonden door te bedenken dat de marginale kosten M(q) = T '(q) eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er dus een productiehoeveelheid q zijn waarbij de marginale kosten M(q) minimaal zijn.

       
  b. Toon aan dat hieruit volgt dat b < 0 .  
       
  In de figuur hiernaast is de grafiek van een willekeurige totale kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken.
Ook zijn in deze figuur de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met
M(q) = T '(q) en de gemiddelde kostenfunctie G met G(q) = T(q)/q.
Verder is in de figuur aangegeven dat voor  q = q0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal  zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q0) = 0
Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn.

       
  c. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q0) = 0 volgt dat deze bewering waar is.