© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. -0,1 • 52 + 1,2 • 5 = 3,5
0,1 • 53 - 1,1 • 52 + 3,7 • 5 = 3,5
dat is gelijk dus er is geen sprong

afgeleides:
K ' = -0,2q + 1,2  geeft  K '(5) = -0,2 • 5 + 1,2 = 0,2
K ' = 0,3q2 - 2,2q + 3,7  geeft  K '(5) = 0,3 • 52 - 2,2 • 5 + 3,7 = 0,2
dat is gelijk dus geen knik.      
       
  b. MK = K'

voor q < 5 is  MK = -0,2q + 1,2  en dat is altijd groter dan nul
voor q > 5  is  MK = 0,3q2 - 2,2q + 3,7 en dat is ook altijd groter dan nul.

Je kunt het ook aan de grafiek zien:  die stijgt overal.
       
  c. -0,2q + 1,2  is minimaal als q zo groot mogelijk is, en dat is q = 5
0,3q2 - 2,2q + 3,7 is een dalparabool, met minimum bij q = 2,2/0,6 = 3,67
Die stijgt vanaf q = 5 dus steeds, dus ook deze is minimaal bij q = 5

In de grafiek zie je dat die het "vlakst" loopt bij q = 5
       
  d. GK = K/q = (0,1q3 - 1,1q2 + 3,7q)/q = 0,1q2 - 1,1q + 3,7
q = 7  geeft dan   GK = €0,9

Teken een lijn vanaf O naar het punt q = 7
Waar die de grafiek snijdt zijn de GK gelijk aan die bij q = 7

Dat is ongeveer bij q = 3

formule:  GK=  (-0,1q2 + 1,2q)/q = -0,1q + 1,2
GK(3) = 0,9 dus dat klopt.      
       
2. a. GK(125) = 33,25 dus de kosten zijn 125 • 33,25 = ƒ4156,25
       
  b. GK(155) = 31,28 dus de totale kosten zijn 155 • 31,28 = ƒ4847,75
De opbrengst is 155 • 56 = ƒ8680
De winst is dus 8680 - 4847,75 = ƒ3832,25
       
  c. MK = 56 ⇒  0,006x2 - 1,2x + 73 = 56  ⇒  0,006x2 - 1,2x + 17 = 0
ABC formule (a = 0,006, b = -1,2 en c = 17) levert  x ≈ 184,66 of x ≈ 15,34
x ≈ 15 valt af (kijk maar naar de grafiek)
x = 184 geeft winst  ƒ4226,67
x = 185 geeft winst ƒ4226,70
De maximale winst is dus bij x = 185
       
3. a. De marginale kosten zijn gelijk aan de helling van de grafiek.
Aan de figuur is duidelijk te zien dat de helling afneemt (de grafiek loop "bol"), dus nemen de marginale kosten af.
       
  b. K' = 25000 • 0,62  • P-0,38 = 15500 • P-0,38   en O'  = 750
K ' = O ' geeft dus  15500 • P-0,38 = 750
⇒  P - 0,38 = 750/15500 = 0,0483..  
⇒ P = 0,0483...(1/-0,38) = 2892  
       
  c. Winst = Opbrengst - Kosten   ⇒  W = 750P - 25000•P0,62
Een Plot van W ziet er zo uit:
   
    Bij lage productie is er verlies, bij stijgende productie neemt de winst steeds meer toe.
De producent kan zijn productie dus het best grootschalig inrichten.
       
4. a. MO is de helling van TO.
model A heeft constante positieve helling en moet dus wel bij grafiek 4 horen.
model C heeft overal positieve helling, maar niet constant. Daar moet dus grafiek 3 bij horen.
modellen B en D hebben beiden helling eerst positief en daarna negatief.
Een verschil is dat B in het begin positieve helling heeft, en C helling ongeveer nul.
Daarom hoort bij B grafiek 1 en bij C grafiek 2.
Conclusie:  A - 4 ,  B - 1 , C - 3 , D - 2
       
  b. Voor het maximum geldt  TO' = 0  dus  -0,03 • q2 + 2b • q = 0  dus  q • (-0,03q + 2b) = 0
Dat heeft als oplossing behalve q = 0  (minimale opbrengst) ook  -0,03q + 2b= 0
Dat geeft  2b = 0,03q  dus  q = 2b/0,03
Dat is een rechte lijn door  (0,0) en (3,200) en (6,400) en ...... (q op de y-as, b op de x-as)
       
5. a. G(q) = T(q)/q = 0,2q2 - 1,2q + 4,2 + 1/q 
de afgeleide moet nul zijn:  0,4q - 1,2 - 1/q2 = 0
Voer in Y1 = 0,4X - 1,2 - 1/(X^2)
Gebruik calc - zero om het nulpunt te vinden.
Dat levert  q = 3,2
       
  b. M = T ' = 3aq2 + 2bq + c
Dat is een dalparabool met de top bij  q = -2b/6a
Die top moet wel liggen bij een q > 0 (immers q is een hoeveelheid producten)
dus moet  -2b/6a > 0
Omdat a > 0 moet dan wel gelden dat b < 0.
       
  c. G = T/q  dus voor G'  moet je de quotiλntregel gebruiken:
     
    Uit G' (q0) = 0   volgt dan   T '(q0) • q0 - T(q0) = 0
     
    Maar omdat M(q) = T'(q) is dat ook gelijk aan M(q0)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)