© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1994.
       
  Aardbevingen worden geregistreerd met een seismograaf, die de aardbevingsgolven weergeeft in een seismogram. Zie de figuren hieronder.
       
 

       
  Verspreid over de aarde staan veel seismografen opgesteld. De uitwijking van een seismograaf hangt af van de afstand van dit instrument tot de plaats aan de oppervlakte van de aarde waar de beving het eerst optreedt. Deze plaats noemt men het epicentrum van de aardbeving.
Om aardbevingen met elkaar te kunnen vergelijken gebruikt men seismogrammen die op een afstand van 100 kilometer van het epicentrum zijn gemaakt (standaardseismogrammen).

De kracht van een aardbeving wordt meestal uitgedrukt in een getal op de schaal van Richter. Bij deze schaal wordt de logaritme (met grondtal 10) gebruikt van de grootste uitwijking die in het seismogram voorkomt. Als de maximale uitwijking van de seismograaf tien keer zo groot wordt, dan neemt de kracht op de schaal van Richter met één toe.

De aardbeving in Nederland op 13 april 1992 had een kracht van 5,50 op de schaal van Richter. De kracht van de aardbeving in 1960 in Chili was 8,42. Van beide bevingen is in de standaardseismogrammen de grootste uitwijking gemeten.
       
  a. Bereken de verhouding tussen deze twee grootste uitwijkingen.
     

1 : 832
  Als op een bepaald waarnemingsstation een seismogram gemaakt is en je weet de plaats van het epicentrum, dan kun je met de volgende formule de kracht van de aardbeving bepalen:
       
  R = log(A/T) + 1,66 • log D + 3,30

Hierin is:

     
  R de kracht van de aardbeving, uitgedrukt in een getal op de schaal van Richter.
  A de grootste uitwijking in het seismogram in mm (1 mm = 0,001 mm). A is aangegeven in de figuur bovenaan deze opgave
  T de tijd in seconden van de trilling met de grootste uitwijking; ook T is in de figuur bovenaan deze opgave weergegeven.
  D de grootte in graden van de hoek tussen de verbindingslijnstukken ME en MW. M is het middelpunt van de aarde, E is het epicentrum en W is de plaats van het waarnemingsstation. Zie de figuur hiernaast.
       
  Uit de formule volgt inderdaad dat de kracht op de schaal van Richter met 1 toeneemt als de maximale uitslag van de seismograaf tien keer zo groot wordt (bij dezelfde T en D)
       
  b. Toon dit aan.  
       
  Van de Chileense aardbeving in 1960 werd in De Bilt een seismogram opgenomen. De trillingen gaven daar een maximale uitwijking van 1000 mm; de trillingstijd bedroeg 20 seconden. Na invulling van D werd R = 8,42 gevonden. Voor de omtrek van de aarde nemen we 40000 km.
       
  c. Bereken de afstand over de aardbol tussen De Bilt en het epicentrum in Chili in honderden kilometers.
       
  Niet alleen in De Bilt, maar ook in andere plaatsen werd in 1960 een seismogram van de Chileense aardbeving opgenomen. Op al die plaatsen berekende men dat de kracht van de aardbeving 8,42 was.
Hoewel A, T en D van plaats tot plaats verschilden,  gaf de formule voor R steeds 8,42 als resultaat.
Voor deze aardbeving bestaat dus het volgende verband tussen A, T en D:
       
 

8,42 = log(A/T) + 1,66 • log D + 3,30
       
  d.
    Bereken p en q in 2 decimalen nauwkeurig.
       
2. examenvraagstuk VWO, Wiskunde A, 1984.

Onderstaande tabel geeft de gemiddelde hoogte aan van een bepaald veld zonnebloemen op verschillende tijdstippen na het ontkiemen. De gemiddelde maximale hoogte die deze zonnebloemen bereiken is 256 cm.

       
 
aantal weken hoogte in cm
2
4
6
8
10
12		 36
98
170
228
251
255

       
  t is de tijd in weken na het ontkiemen.
H(t) is de gemiddelde hoogte van deze zonnebloemen in cm op het tijdstip t.
       
  a. Onderzoek of er sprake is van lineaire groei, exponentiële groei of geen van beide.
       
  b. Teken met behulp van de gegevens in de tabel de grafiek van de functie:
   
     
  c. Toon aan dat er een eerstegraads functie is die de functie F redelijk benadert en geef het bijpassende functievoorschrift.
       
  d. Leid uit de resultaten van b. en c. een functievoorschrift van H als functie van de tijd af.
       
3. examenvraagstuk VWO, Wiskunde A, 2015.

De Amerikaan Charles Richter gebruikte seismogrammen om de magnitude (kracht) van een beving te kunnen bepalen. In de figuur zie je een voorbeeld van een seismogram. In dit seismogram zie je de gemeten trillingen van de aarde als uitwijkingen in mm. De grootste uitwijking in het seismogram heet de maximale amplitude.
       

       
  Om de magnitude van een beving te bepalen, gebruikt men de formule van Richter. Hier staat een vereenvoudigde versie daarvan: M = log(A) + 3
In deze formule is M de magnitude en A de maximale amplitude in mm.

Uit de formule blijkt, dat als de maximale amplitude A tien keer zo groot wordt, de magnitude met 1 eenheid toeneemt.
       
  a. Toon met behulp van de rekenregels voor logaritmen aan dat  log(10A) + 3 altijd 1 groter is dan log(A) + 3.
       
  Met de formule M = log(A) + 3 kan M berekend worden als A bekend is.
Men kan echter ook A berekenen als M bekend is. Dat kan met de formule  A = 0,001 • 10M.
Deze laatste formule is af te leiden uit de formule M = log(A) + 3.
       
  b. Toon dit aan.
       
4. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2016-I
       
 

Het verband tussen de lengte van karperlarven en hun gewicht kan beschreven worden met een formule van de vorm:   G = 0,014 • Lb   met 0,2 ≤ L ≤ 1,9

Hierin is L de lengte in centimeter, G het gewicht in gram en b een constante.
Een karperlarve van 1,9 cm weegt ongeveer 0,25 g.
       
  a. Bereken b met behulp van deze gegevens. Rond je antwoord af op één decimaal.
     

4,5
 

Voor volwassen karpers geldt de formule:  G = 0,014 •  L3,13 met 10 ≤ L ≤ 94

Hierin is L weer de lengte in centimeter en G het gewicht in gram.
       
  b. Bereken hoeveel keer zo zwaar een volwassen karper van 94 cm is in vergelijking met een volwassen karper van 10 cm. Rond je antwoord af op honderdtallen.
     

1100 keer
  De formule G = 0,014 •  L3,13 is te herleiden tot een formule van de vorm  log(G) = p + q • log(L) .
       
  c. Bereken de waarden van p en q. Geef beide waarden in twee decimalen nauwkeurig.
     

-1.85 en 3,13
       
5. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2017-I.
       
  Het kookpunt van water is de temperatuur waarbij water gaat koken.
Het kookpunt T is afhankelijk van de luchtdruk p met p in bar en T in °C.
In de figuur is het verband tussen log(p) en T weergegeven.
       
 

       
 

Onder normale omstandigheden is de luchtdruk op zeeniveau 1,0 bar en is het kookpunt van water bij deze luchtdruk 100 °C.

Op de top van Mount Everest is de luchtdruk 0,31 bar. Hierdoor is het kookpunt van water op de top van Mount Everest een stuk lager dan op zeeniveau.
       
  a. Onderzoek met behulp van de figuur bij welke temperatuur water op de top van Mount Everest gaat koken. Geef je antwoord in hele °C nauwkeurig.
       
  Het verband dat in de figuur is weergegeven, kan benaderd worden met de formule:
       
 
       
 

Hierin is p de luchtdruk in bar en T het kookpunt van water in °C.

Op zeeniveau, bij een luchtdruk van 1,0 bar, kookt rijst in water bij een temperatuur van 100 °C. Als de rijst in een hogedrukpan wordt bereid onder dezelfde omstandigheden, maar bij een temperatuur van 130 °C, is de rijst sneller gaar als gevolg van de hogere druk.
       
  b. Bereken de druk in bar in een hogedrukpan als de rijst aan het koken is. Geef je antwoord in bar in één decimaal nauwkeurig.
     

2,6 bar
  In de gegeven formule is log(p) uitgedrukt in T.
       
  c. Druk T uit in p.
       
6. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2017-I
       
  Een veelgehoorde bewering is dat het hart van zoogdieren gedurende hun leven ongeveer een miljard keer slaat. We gaan dat in deze opgave onderzoeken.
Naar aanleiding van deze bewering kan een formule voor het verband tussen de hartslag en de levensverwachting opgesteld worden:  H = 1900/L
Hier is L de levensverwachting (in jaren) en H de hartslag (in slagen per minuut).
       
  a. Toon aan dat deze formule uit de veelgehoorde bewering volgt.
       
  Bij controle blijkt dat er dieren zijn waarvoor de formule ongeveer klopt, maar ook dieren waar de formule helemaal niet voor klopt, zoals de aap en de muis. In werkelijkheid is het verband anders. In de figuur is de hartslag van een aantal soorten zoogdieren uitgezet tegen hun levensverwachting. Langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt.
       
 

       
 

De punten die de hamster en de walvis weergeven, liggen nagenoeg op de getekende rechte lijn. De walvis heeft een levensverwachting van 60 jaar en een hartslag van 25 slagen per minuut. De hamster heeft een levensverwachting van 3 jaar en een hartslag van 450 slagen per minuut.

Het verband tussen H (de hartslag in slagen per minuut) en L (de levensverwachting in jaren) is (bij benadering) exponentieel en is dus te schrijven als:  H = b • gL

Uit de grafiek volgt dat b bij benadering 520 is en g bij benadering 0,95.
     

0,951 en 524
  b. Bereken met behulp van de gegevens van de hamster en de walvis g in drie decimalen en b in gehelen.
       
  Met de formule H = 520 • 0,95L kun je de hartslag berekenen als je de levensverwachting weet. Logischer is het om de levensverwachting te berekenen als je van een zoogdier de hartslag gemeten hebt.
Daarom willen we de formule H = 520 • 0,95L herleiden tot de vorm:  L = a • log(H) + b
       
  c. Voer deze herleiding uit. Geef a en b in 2 decimalen nauwkeurig.
     

-44,89 en 121,92
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)