Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2013.

In de archeologie gebruikt men de C14-methode bij het vaststellen van de historische leeftijd (ouderdom) van bepaalde vondsten. Deze methode werd in 1949 ontwikkeld door de Amerikaanse scheikundige Libby, die hiervoor de Nobelprijs gekregen heeft. Volgens de theorie neemt de radioactiviteit van dood organisch materiaal exponentieel af en daarom kun je door de radioactiviteit te meten bepalen hoe oud een voorwerp is. De figuur hiernaast komt uit een artikel van Libby uit 1949. Libby testte de C14-methode door deze te gebruiken op zes verschillende voorwerpen waarvan de historische leeftijd op een andere manier bekend was.

Langs de verticale as staat de gemeten radioactiviteit in cpm (counts per minute) per gram materiaal. Dit is een maat voor de hoeveelheid C14. Langs de horizontale as staat de historische leeftijd van het voorwerp in jaren.

Volgens de theorie neemt de gemeten radioactiviteit exponentieel af. De grafiek gaat door de punten (0; 12,5) en (6000; 6). Hiermee kan men de groeifactor berekenen.

Bereken met deze punten de groeifactor per jaar in 7 decimalen nauwkeurig.

0,9998777

Voor het vervolg van de opgave gaan we uit van de formule: N = 12,5 • 0,999878^t

Hierin is N de gemeten radioactiviteit van het voorwerp in cpm per gram en t is de historische leeftijd volgens de C14-methode van het voorwerp in jaren.

De punten in de figuur stellen de metingen aan de voorwerpen voor. Het punt ‘Ptolemy’ hoort bij een stuk hout van een doodskist van een Egyptische mummie. Deskundigen schatten dat deze doodskist uit ongeveer 200 voor Chr. dateert. Voor dit hout werd in 1949 een radioactiviteit van 9,5 cpm per gram gemeten.

Bereken het verschil tussen de historische leeftijd volgens de C14-methode en de schatting van de deskundigen.

100 jaar

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2015.

Iemand leent bij het bedrijf Flitsmoney een bedrag van €250,00. Hij heeft dus een schuld van €250,00. Die schuld loopt echter exponentieel op, met vaste groeifactor. Na 30 dagen is die schuld opgelopen tot €312,50. Als je uitgaat van exponentiële groei, kun je berekenen dat de schuld dagelijks met ongeveer 0,75% groeit.

Bereken dit percentage in drie decimalen nauwkeurig.

0,747

Zo’n lening is duur. Een schuld die dagelijks 0,75% groter wordt, zou na een jaar fors gegroeid zijn.
Bereken het groeipercentage per jaar.

1429,13%

Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2015.

In de periode 1990 − 2005 nam het aantal kuifleeuweriken dramatisch af, zoals in de volgende figuur goed te zien is.

In 2005 was er nog slechts 5% over van het aantal in 1990. Ga ervan uit dat het aantal exponentieel afnam in deze periode.

Bereken de groeifactor per jaar voor de kuifleeuwerik. Ga uit van de gegevens van 1990 en 2005.

Uit het onderzoek is gebleken dat de plaats van het nest belangrijk is voor de mate van succes van een vogelsoort. Een soort A die zijn nest in struiken maakt, groeit exponentieel met groeifactor 1,042 per jaar. En een soort B die in bomen nestelt, groeit exponentieel met groeifactor 1,016 per jaar.
Neem aan dat de aantallen van deze twee broedvogelsoorten op een bepaald moment gelijk zijn.

0,8190

Bereken na hoeveel gehele jaren het aantal vogels van soort A voor het eerst meer dan twee keer zo groot is als dat van soort B.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2015.

Bank A adverteert met de volgende aanbieding:

1^e jaar 3,00% rente
2^e jaar 3,25% rente
3^e jaar 3,40% rente
4^e jaar 3,55% rente
5^e jaar 5,00% rente

Wie spaargeld inlegt bij bank A voor een periode van 5 jaar, krijgt dus het eerste jaar 3,00% rente, het tweede jaar 3,25% en het derde jaar 3,40% en zo verder. Neem aan dat bank B een vast rentepercentage per jaar aanbiedt voor een periode van 5 jaar.

Iemand wil een bedrag inleggen bij een bank voor een periode van 5 jaar.
Onderzoek bij welk vast rentepercentage per jaar van bank B hij bij beide banken hetzelfde eindbedrag in handen krijgt. Rond je antwoord af op vier decimalen.

3,6376

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2017-I

Hieronder zie je een gitaar. De snaren zijn gespannen tussen de brug en de kam. Op de hals zijn zogenoemde frets (smalle metalen strips) te zien.

Als je een snaar aanslaat zonder op een fret te drukken, gaat de hele snaar tussen de brug en de kam trillen. Door een snaar tegen een fret aan te drukken, wordt de gebruikte snaarlengte korter. Je krijgt dan een andere toon. Om de goede tonen te krijgen, moet bij het bouwen van een gitaar de juiste plaats van de frets berekend worden.

De volgende figuur geeft een schematisch zijaanzicht van de hals. De eerste 12 frets zijn daarin vanaf de brug genummerd.

De lengte van een snaar in cm tussen de brug en de kam noemen we L .
A_n is de afstand in cm tussen de fret met nummer n en de kam, en d_n is de afstand in cm tussen de fret met nummer n en de brug.
In de figuur zijn A₄ en d₄ aangegeven. Voor A_n geldt de volgende formule:

A_n = L • 0,9439ⁿ

Van een bepaalde gitaar is de afstand tussen fret nummer 6 en de brug gelijk aan 20 cm.

Bereken de lengte L van een snaar van deze gitaar. Rond je antwoord af op hele cm.

68 cm

De groeifactor in de formule is berekend op basis van de volgende uitgangspunten:
- er is een exponentieel verband tussen A_n en n;
- de 12^e fret ligt precies midden tussen de brug en de kam.

Bereken met behulp van deze twee uitgangspunten de groeifactor in vijf decimalen nauwkeurig.

0,94387

De theoretische formule die hiervoor geldt, is:

Deze formule kan worden herleid tot: A_n = L • 0,9439ⁿ

Laat deze herleiding zien.

Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2021-I

De frequentie van een toon wordt gegeven in hertz (Hz), dit is het aantal trillingen per seconde. Bij een hogere toon hoort een hogere frequentie. Als je eenzelfde toon één octaaf hoger speelt, wordt de frequentie twee keer zo groot. Er bestaat een exponentieel verband tussen de frequenties en de tonen in de tabel: van elke volgende toon neemt de frequentie met een vast percentage toe. In de tabel zie je van enkele tonen de frequenties.

Tabel: frequenties.

toon

Bes

Des

Ges

frequentie (Hz)

440

880

Bereken op basis van de frequenties van de A-tonen uit de tabel de frequentie van de D-toon. Geef je antwoord in één decimaal.

587,3

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2023-I

Traditioneel gebrouwen whisky wordt enkele jaren in houten vaten opgeslagen om daarin te rijpen. In het algemeen geldt: hoe langer de whisky rijpt, hoe beter hij smaakt. Lang rijpen heeft echter een nadeel: een deel van de whisky gaat verloren doordat deze in het houten vat trekt of verdampt. Het deel van de whisky dat tijdens het rijpen verloren gaat, wordt het engelendeel genoemd. Het engelendeel wordt uitgedrukt in een percentage per jaar.

Van een bepaald soort whisky is het engelendeel 4,5%. Neem aan dat het engelendeel elk jaar hetzelfde percentage is.

Bereken hoelang het duurt totdat nog maar de helft van de whisky over is. Geef je antwoord in jaren en gehele maanden.

15 jr en 1 mnd

In werkelijkheid is bij traditioneel gebrouwen whisky het engelendeel niet ieder jaar even groot. Zeker aan het begin van de rijpingsperiode is dit deel een stuk groter, doordat de whisky nog in het hout moet trekken.

Pappy Van Winkle 23 is een zeer exclusieve whisky die op traditionele wijze geproduceerd wordt en, zoals de naam al suggereert, 23 jaar in een houten vat rijpt voordat hij in flessen gedaan wordt. Op de website van de producent staat het volgende:

Het rijpingsproces begint met een vat met 200 liter whisky. Het eerste jaar gaat er maar liefst 10% verloren, doordat de whisky in het hout trekt. De 8 jaren erna gaat er 4% per jaar verloren en daarna steeds 3% per jaar. Tenslotte gaat er van het eindproduct ook nog 6 liter verloren bij het vullen van de flessen.

Pappy Van Winkle 23 wordt verkocht in flessen van 750 ml.

Bereken hoeveel van zulke flessen kunnen worden gevuld, uitgaande van 200 liter whisky.

105 flessen