|
|||||
| 1. | a. | punt Q: f(0) = ln(0 + e) = lne
= 1 dus Q = (0,1) punt P: f(x) = 0 dus ln(x + e) = 0 ⇒ x + e = 1 ⇒ x = 1 - e dus P = (1-e, 0) De helling van PQ is dan gelijk aan Δy/Δx = (1 - 0)/(0 - (1 - e)) = 1/(e - 1) = a Het beginpunt is b = 1 |
|||
| b. | f '(x) = 2/e
geeft 1/(x + e) = 2/e dus 2(x + e) = e ⇒ 2x + 2e = e ⇒ 2x = -e ⇒ x = -1/2e |
||||
| 2. | a. | Als je y = 3lnx een
afstand a omhoog schuift dan krijg je y = 3lnx
+ a Dus moet gelden 3lnx + a = 3ln(2x) 3lnx + a = 3(ln2 + lnx) 3lnx + a = 3ln2 + 3lnx a = 3ln2 |
|||
| b. | 3ln(2x) = ln((2x)3) = ln(23x3) = ln(8x3) |
||||
| c. | y = 0 3ln(2x) = 0 ln(2x) = 0 2x = 1 x = 1/2 dus het punt is (1/2, 0) f ' = 3 1/(2x) 2 = 3/x f ' (1/2) = 6 dus de raaklijn is de lijn y = 6x + b 0 = 6 1/2 + b b = -3 de raaklijn is y = 6x - 3 |
||||
| 3. | Als L = 42 dan is de
term 4/3L constant, dus valt
weg bij differentiλren: ΔN = 10000 geeft ΔB = 1, dus ΔB/ΔN = 0,0001 Dat geeft N ln10 0,0001 = 20 ⇒ N = 86859 |
||||
| 4. | a. | A =
1,5 2log(108) = 1,5 log(108)/log(2) = 10,13....... 11 keer schudden dus. |
|||
| b. |
dA/dn = 1,5 1/(nln2) n is positief, dus dA/dn ook (alles is positief) dus A stijgt als n groter wordt, dan wordt de noemer van A' groter, dus dan wordt A' zelf kleiner. Dus de stijging van A is afnemend. |
||||
| c. | A = 1,5 2log(n) vervang nu n door 4n: Anieuw = 1,5 2log(4n) = 1,5 (2log4 + 2logn) = 1,5 2log4 + 1,5 2logn = 3 + 1,5 2logn = 3 + Aoud. Dus drie keer extra schudden. |
||||
| 5. | a. |
fa
(x) =
x -
xln(ax) = x -
xlnx - xlna . f1/a (x) = x - xln(1/a x) = x - xlnx - xln(1/a) fa (x) + f1/a (x) = x - xlnx - xlna + x - xlnx - xln(1/a) maar ln(1/a) = ln(a-1) = -1 lna dus dan wordt dat: fa (x) + f1/a (x) = 2x - 2xlnx Delen door 2 geeft x - xlnx in dat is inderdaad precies f1. |
|||
| b. | fa
(x) =
x -
xln(ax) in het maximum geldt f '= 0 f ' = 1 - 1 lnax - x 1/ax a = 1 - lnax - 1 = -lnax f '= 0 als ax = 1 dus x = 1/a xT = 1/a x - xln(ax) = 0 x(1 - lnax) = 0 x = 0 ∨ lnax = 1 lnax = 1 geeft ax = e dus xS = e/a xS/xT = (e/a)/(1/a) = e en dat is inderdaad constant. |
||||
| 6. |
f
(x)
=
x
ln(x)
-
x
+
1 g(x) = f '(x) = 1 lnx + x 1/x - 1 = lnx + 1 - 1 = lnx lnx = xlnx - x + 1 lnx (1 - x) = 1 - x lnx = 1 ∨ (1 - x) = 0 x = e ∨ x = 1 |
||||
| 7. | de hellingen moeten 1 zijn en de functies moeten
gelijk zijn. f ' = p/x = 1 ofwel p = x g' = 1/p ex/p = 1 vul p = x in deze laatste in: 1/x e1 = 1 ofwel x = e is het raakpunt Dus p = x = e |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||