Matrices Vermenigvuldigen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
De eerste brugklassen van een middelbare school houden elk jaar een aantal schoolfeesten. Er zal op elk feest bier, wijn en frisdrank te drinken zijn. Aan het begin van het jaar vraagt de feestcommissie in een enquêtes hoeveel drank van elke soort iedereen zo gemiddeld op zo'n feest drinkt..
Dat levert de volgende drankmatrix (D), waarin per leeftijdscategorie (12, 13, 14 jaar) staat aangegeven hoeveel er gemiddeld per persoon wordt gedronken op zo'n feest.
       

     

In februari is het weer zover; er wordt weer een feest georganiseerd.
Om te weten hoeveel drank er ingekocht moet worden is het natuurlijk nog nodig om in te schatten hoeveel personen er ongeveer op dit feest zullen komen. Die gegevens staan in de opkomstmatrix (O) hiernaast.
 
Met deze gegevens kun je nu vrij eenvoudig uitrekenen hoeveel bier er besteld moet worden. Er zijn immers 50  12-jarigen die per persoon gemiddeld 0,2 liter drinken, dus dat is 0,2 • 50 = 10 liter. Verder zijn er 83  13-jarigen en die drinken samen 0,8 • 83 = 66,4 liter. Tenslotte drinken de 14-jarigen naar verwachting 1,1 • 32 = 35,2 liter bier.
Er zal dus (schatting) 10 + 66,4 + 35,2 = 111,6 liter bier gedronken worden  (natuurlijk is dat precieze getal nogal overdreven; het is maar een schatting).

We hebben dat aantal liter als volgt berekend:     0,2 • 50 + 0,8 • 83 + 1,1 • 32  = 111,6

Als je goed naar de matrices D en O kijkt zie je dat hier de getallen uit de eerste rij van D worden vermenigvuldigd met de (enige) kolom van O. Het vermenigvuldigen van een rij met een kolom heet een inproduct en dat ziet er dus zó uit:
       

       
Voor de andere soorten drank kun je ook zulke inproducten (rij maal kolom) opstellen, en die twee zien er zó uit:
       

       

       
Deze drie inproducten kun je ook onder elkaar zetten in één matrixvermenigvuldiging, en dan ziet dat er zó uit:
       

       
Het kan natuurlijk ook dat er bij een matrixvermenigvuldiging in die tweede matrix ook meerdere kolommen staan. Stel bijvoorbeeld dat er bij een later feest  60 12-jarigen en  55 13-jarigen en  45 14-jarigen worden verwacht. Dan kun je in één keer voor beide feesten de benodigde hoeveelheden drank berekenen met de volgende matrixvermenigvuldiging (O bestaat nu uit twee kolommen):
       

       
Ik hoop dat je ziet dat die zes getallen in dat antwoord alle zes zijn berekend door een inproduct te berekend:  een rij van de eerste matrix vermenigvuldigd met een kolom van de tweede. Zo zie je dat het getal 259 in de derde rij en de tweede kolom van het antwoord staat, en het is dan ook berekend door de derde rij van D te vermenigvuldigen met de tweede kolom van O.  Kijk maar:
       

       
Kun je alle matrices met elkaar vermenigvuldigen?
       
Er is één voorwaarde:
Als je een inproduct berekent, dan vermenigvuldig je een rij met een kolom.
Dat doe je door de getallen op dezelfde plaats met elkaar te vermenigvuldigen, en dan die resultaten op te tellen.
Maar dan moeten er wel even veel getallen staan!
In de matrix hiernaast kun je die rode rij niet vermenigvuldigen met die groene kolom, want de rij heeft 2 getallen en de kolom 3. Deze vermenigvuldiging bestaat dus niet!

       
Zo'n rij van de eerste matrix en zo'n kolom van de tweede zijn wél even groot als de tweede matrix evenveel rijen heeft als de kolommen van de eerste. 
Dus als je een (a × b) matrix wilt vermenigvuldigen met een (c × d) matrix, dan moet gelden  b = c.

Als dat inderdaad zo is, dan kun je de vermenigvuldiging uitvoeren. Dus dan kun je alle a rijen van de eerste vermenigvuldigen met alle d kolommen van de tweede, en dan geeft dat een nieuwe matrix met afmetingen  a × d.
Conclusie:
       

(n × p) • (p × m)  =  (n × m)

       
Wat stelt het nou precies voor?
       
Stel dat we de drankmatrix D hierboven andersom hadden opgesteld, en de O-matrix gelijk hadden gehouden.
Dan zou dat de volgende vermenigvuldiging D • O hebben opgeleverd:
       

       
Maar als je nu de eerste rij vermenigvuldigt met de kolom, dan krijg je  0,2 • 50 + 0 • 83 + 1,8 • 32
Maar daar staat de grootste  ONZIN!!!
Je vermenigvuldigt nu bijvoorbeeld het frisgebruik van de 12-jarigen (1,8) met het aantal 14-jarigen (32).

Dat slaat nergens op!!

Zo'n inproduct slaat alleen ergens op als wat er boven de eerste matrix staat  hetzelfde is als wat er voor de tweede staat. Je moet wel getallen die bij elkaar horen met elkaar vermenigvuldigen!
Zó dus:
       

       
Dus hierboven geldt:  "Dat rode moet gelijk zijn, en dat groene en blauwe komt er uiteindelijk uit" In feite berekent zo'n matrixvermenigvuldiging de groene en blauwe eigenschappen waarbij alle rode samengenomen worden (bovenstaand eerste voorbeeld berekende de hoeveelheden drank voor al de leeftijden bij elkaar genomen).

Rijen of Kolommen optellen.
       
Hiernaast staat nog een keer de uitkomst van de hoeveelheden drank voor het eerste en het tweede feest uit bovenstaand voorbeeld.

Daarmee kun je nog twee andere vragen beantwoorden:

vraag 1: Hoeveel drank was er totaal op feest1? En op feest 2?
vraag 2: Hoeveel bier werd er in totaal op beide feesten samen gebruikt? En hoeveel wijn? En hoeveel fris?
       
Voor vraag 1 moet je de kolommen van de matrix optellen, en dat geeft voor feest 1:  111,6 + 32,6 + 267,6 = 411,8 liter en voor feest 2:  105,5 + 33,5 + 259 = 398 liter.
Maar dat optellen kun je ook met een matrixvermenigvuldiging doen. Als je een rij wilt optellen vermenigvuldig je gewoon met een kolom die uit allemaal enen bestaat. En wil je een kolom optellen dan vermenigvuldig je met een rij enen. Kijk maar hoe het werkt:
       

       
Links is vraag 1 beantwoord, rechts vraag 2.
       
OPGAVEN
   
1. Over de afgelopen jaren is gebleken dat Ajax  80% van de thuiswedstrijden wint, 15% gelijkspeelt  en  dus 5% verliest. Voor de uitwedstrijden zijn die percentages 60% van winst, 20% gelijkspel en 20% verlies.

Laten we aannemen dat deze percentages voor de komende competitie ook zullen gelden.
Zoals je weet levert een gewonnen wedstrijd 3 punten op en een gelijkspel 1 punt, en verlies 0 punten.

Na 20 gespeelde wedstrijden heeft Ajax er 8 thuis gespeeld en 12 uit. 

Stel een matrix S voor winst/verliespercentages op.
Stel een matrix T voor het aantal thuis/uit gespeelde wedstrijden na 20 rondes op.
Stel een matrix U voor het aantal punten bij winst/verlies/gelijkspel op.

Bereken vervolgens met uitsluitend matrixvermenigvuldigen het verwachte aantal punten van Ajax  na 20 speelronden. Omdat het om een schatting gaat hoeft dat aantal punten niet geheel te zijn.
       

45,4

         
2. Een supermarkt verkoopt drie soorten koffie;  Lavazza (L)  en  Douwe Egberts (D) en Fair Trade (F).
Elk merk wordt verkocht in de vorm van gemalen koffie en in de vorm van koffiebonen. Een voorraadtelling levert op een gegeven moment op dat er van Douwe Egberts 8 dozen gemalen koffie en 8 dozen koffiebonen aanwezig zijn. Van Lavazza zijn er 10 dozen gemalen koffie en 4 dozen koffiebonen. Van Fair Trade zijn er 3 dozen gemalen koffie en 2 dozen koffiebonen.
Een doos bevat steeds 20 pakken koffie.

  De inkoopsprijs voor koffiebonen is per pak  voor alle merken €1,70.  De prijzen voor gemalen koffie zijn per pak steeds €2,00.

Bereken uitsluitend met matrixvermenigvuldiging de inkoopwaarde van de totale voorraad koffie.
         
         
3. Als je een punt in een coördinatenstelsel spiegelt in de y-as, dan wordt de x-coördinaat het tegengestelde. Zo wordt  (4, -2)  bij spiegelen afgebeeld op (-4, -2).
Hoe kun je "spiegelen in de y-as" door matrixvermenigvuldigen tot stand brengen?
         
4. a. Stel dat je een 2 ´ 3 matrix hebt, maar om de één of andere reden wil je de getallen van onderste rij halveren.
Hoe kun je dat met een matrixvermenigvuldiging tot stand brengen?
         
  b. Stel dat je een 2 ´ 3 matrix hebt, maar om de één of andere reden wil je de tweede en de derde kolom met elkaar verwisselen.  Hoe kun je dat met een matrixvermenigvuldiging tot stand brengen?
         
5. A, B en C zijn drie matrices. Het blijkt dat A • B • C • A • C  ook een matrix is.
Wat kun je zeggen over de afmetingen van matrix B?
         
6. Engelse drop bestaat uit een mengsel van vier verschillende soorten dropjes: "cilinder", "staaf", "blok" en  "kussen"
         
 

         
  Carolien is jarig en gaat haar klas (10 jongens en 14 meisjes) trakteren op Engelse drop. Zo koopt bij zo'n ouderwetse snoepwinkel losse dropjes. Een blok(B) kost 0,03, een kussen(K) kost  0,02, een staaf(S) kost 0,01 en een cilinder (C) kost 0,05 (die is immers het lekkerst!)
Carolien gaat met een enorme zak de klas rond en laat iedereen wat dropjes pakken.
Dát is toevallig! Alle jongens pakken 2 blokken, 3 cilinders en 1 kussen.  Alle meisjes (die zijn immers veel inhaliger) pakken 5 blokken, 2 staven en 2 kussens.
         
  a. Bereken uitsluitend met matrixvermenigvuldiging voor hoeveel geld de kinderen uit de klas van Carolien aan drop pakken.
         
  Alle vier de soorten dropjes bestaan alleen uit de ingrediënten  kokos, drop en zoetstof volgens de samenstellingmatrix S hiernaast.
Neem aan dat elk dropje 2 gram weegt.

Carolien heeft na afloop nog  80 blokken, 45 cilinders, 50 kussens en  92 staven over.

         
  b. Bereken met matrixvermenigvuldiging hoeveel  gram zoetstof daar in totaal in zit.
         
7.
  Hor ziet  matrix M er uit als geldt dat  L • M = M • L ?
         
8. Een psychiater heeft het bezoek van zijn drie belangrijkste patiënten, de heren Schizo (S), Frusto (F) en Depri(D) in de matrix M hiernaast gezet. De getallen geven het aantal bezoekuren aan.

Hij laat Schizo 50,- per uur betalen, Frusto 40, - en Depri 60,-
Maak de volgende berekeningen uitsluitend door matrixvermenigvuldigingen.

         
  a. Bereken hoeveel geld deze drie heren samen per week aan de psychiater kwijt zijn.
         
  b. Bereken dat bedrag opnieuw als de psychiater het uurloon op maandag en dinsdag met 25% verhoogt.
         
  c. Schizo ligt 50% van de tijd op de sofa, Frusto 80% en Depri 90%.
Bereken hoeveel uur per week de sofa door één van deze drie heren is bezet.
         
9. Drie vrienden, Hans, Kees en Jan, gaan geld verdienen voor hun scouting groep. Ze gaan drie dagen lang de actie "Heitje-voor-een Karweitje" doen, waarbij ze tegen betaling klusjes voor de mensen gaan opknappen.
Het blijkt dat Hans per uur  10,- ophaalt, Kees  20,-  en Jan slechts 7,50. (Jan woont in Baflo en daar zijn ze nou eenmaal wat zuiniger)
  Het aantal uren dat de jongens aan hun actie besteden staat in matrix M hiernaast.

       
  a. Bereken met matrixvermenigvuldigen hoeveel geld  er per dag wordt opgehaald.
         
  b. Bereken met matrixvermenigvuldigen hoeveel uur Hans, Kees en Jan elk in totaal aan de actie besteden.
         
  c. Bereken met matrixvermenigvuldigen hoeveel geld ze met zijn drieën in totaal verdienen.
         
10. Een bloemist verkoopt drie soorten boeketten. Hij noemt ze A, B en C. Om deze boeketten samen te stellen gebruikt hij 5 verschillende soorten bloemen, met als prijs per stuk: Chrysanten (0,40), dahlia's (0,40), rozen (1,20), tulpen (0,60) en anjers (0,50).
De samenstelling van de boeketten staat in de matrix M hiernaast.

         
  a. Stel een matrix P op die de prijs per bloem geeft, en bereken het product S  = P • M. Wat stelt S voor?
         
  b. Een firma bestelt bij de bloemist 10 boeketten A, 5 boeketten B en 6 boeketten C. Zet deze bestelling in een matrix B, en bereken I = S • B. Wat stelt I voor?
         
  c. Bereken F = M • B.  Wat stelt F voor?
         
  d. Bereken G = P • F.  Wat stelt G voor?
         
11. Een handelaar in vuurwerk verkoopt drie basispakketten, I, II en III.
Hij heeft daarvoor de beschikking over Astronauten (A), Rotjes (R) en Romeinse kaarsen (K).

Pakket I bestaat uit 12 astronauten, 3 kaarsen en 15 rotjes. Pakket II bestaat uit 10 astronauten, 25 rotjes en 8 kaarsen. Pakket III bestaat uit  16 astronauten, 5 kaarsen en 20 rotjes.
         
  a. Maak hiervan een 3 × 3 matrix M die aangeeft hoe de pakketten zijn samengesteld.
         
  De gemeente Groningen bestelt ter gelegenheid van het Bommen Berend feest voor haar werknemers 100 pakketten I,  50 pakketten II en 60 pakketten III. Men geeft de bestelling door als bestelmatrix B.
         
  b. Geef een mogelijkheid voor B, en bereken het product G = M • B of G = B • M zodat het antwoord iets zinnigs voorstelt. Wat stelt het voor?
         
  c. Een astronaut kost  0,20,  een rotje 0,10 en een kaars 0,60.
Bereken door matrixvermenigvuldiging de prijzen van de drie pakketten,  noem je antwoordmatrix P.
         
  d. Vermenigvuldig B en P met elkaar. Wat stelt je antwoord voor?
         
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)