© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Vergelijkingen met machten.
       
De vorige les heb je geleerd hoe je machten wat kunt veranderen en aanpassen. Dat gaan we nu gebruiken om vergelijkingen met machten op te lossen.

Voor de verandering gaan we eens beginnen met de eindstap.  Die ziet er zó uit:
       

gx = gy   ⇒  x = y
       
Dus als je de vergelijking (met machten) waar je mee bezig bent zover kunt krijgen dat er staat  gx  = gy  dan mag je die machten weglaten en ervan maken x = y. En dat is dan hopelijk een gemakkelijke vergelijking.

KIJK UIT!...... WAARSCHUWING!!.....TWEE BLUNDERS!!!.....

Dat weglaten van die machten mag alleen onder twee zeer strenge voorwaarden:
       
1. Er mag aan beide kanten maar één g...... staan
       
 

       
 

       
2. De g's moeten hetzelfde zijn.
       
 

       
 

       
Soms moet je dus wel eerst wat werk verrichten voordat aan deze twee voorwaarden is voldaan, maar daar hebben we dan weer de regels voor machten van de vorige les voor.

Paar voorbeeldjes van hoe het werkt.
       
Voorbeeld 1.
4x + 1 = 64  ⇒   4x + 1 = 43  ⇒   x + 1 = 3  ⇒   x = 2.

Voorbeeld 2.
22x - 5 = 27  ⇒   22x = 32  ⇒  22x = 25   ⇒  2x = 5  ⇒  x = 21/2.

Voorbeeld 3.
9 • 3x  =  34x - 1 ⇒   32 • 3x = 34x - 1 ⇒  32 + x = 34x - 1  ⇒   2 + x = 4x - 1 ⇒    x = 1

Voorbeeld 4.
25x = 5x - 1  ⇒     (52)x = 5x - 1 ⇒   52x = 5x - 1 ⇒   2x = x - 1   ⇒   x = -1

Voorbeeld 5.
√3 • 9x = 27x  ⇒    30,5 • (32)x = (33)x  ⇒   30,5 • 32x =  33x ⇒   30,5 + 2x = 33x  ⇒  0,5 + 2x = 3x ⇒   x = 0,5 

       
Aan die laatste twee vergelijkingen zie je misschien al wel dat je af en toe een keuze moet maken over wat je nou voor g neemt. Als macht van WAT ga je alles schrijven? Bij die laatste opgave moet je je eigenlijk realiseren dat al die getallen "iets met 3 te maken hebben"  Je zou het een "3-som" kunnen noemen. Daarom zijn we in de oplossing alles als macht van 3 gaan schrijven. Maar daarvoor moet getallen als 9 en 27 dus wel herkennen als machten van 3.
Het is misschien daarom wel handig een aantal machten toch uit je hoofd te kennen.
       
  in  "2-sommen" kom je getallen als  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128..... tegen
in  "3-sommen"  kom je getallen als 3, 9, 27, 81, ...tegen
in  "4-sommen" kom je getallen als  4, 16, 64, 256, ...tegen
in  "5-sommen"  kom je getallen als  5, 25, 125, 625.... tegen
       
       
1. Los algebraďsch op:
       
  a. 27x • 3 = 9

x =  1/3
       
  b. √125 = 25x • 5x + 1

x =  1/6
       
  c. 16 • 42x = 23x • 8x

x = 2
       
  d. 3 • 9x = 81x - 3

x = 61/2
       
  e. (1/2)3x =  (1/4)x - 4

x = -8
       
  f. 6x • 36x = √216

x =  1/2
       
2. Examenopgave Havo, Wiskunde B, 2018.
       
 

De functie f  is gegeven door    f(x) = 4 - 20,3x - 2

Op de grafiek van f ligt een punt R. De y-coördinaat van R is 2.
       
  a. Bereken exact de x-coördinaat van R.
     

x = 10
  De grafiek van f snijdt de x-as in het punt Q.
Verder zijn gegeven het punt P(0, 5) en de lijn l door P en Q.
Lijn l en de grafiek van f snijden elkaar behalve in Q ook in het punt S.
Zie de figuur.
       
 

       
  b. Benader de coördinaten van S. Rond deze coördinaten af op twee decimalen.
     

(4.30; 3.39)
 

De grafiek van f wordt 20 naar links en 10 omhoog geschoven.
Hierdoor ontstaat de grafiek van een functie g.

De functie g kan geschreven worden in de vorm g(x) = a + b • 20,3x .
       
  c. Bereken de waarden van a en b.
     

14 en -16
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)