Logistische groei.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Als een boswachter het aantal konijnen in zijn bos telt, dan merkt hij dat in het begin dit aantal exponentieel toeneemt, immers het groeit sneller en sneller want als er meer zijn komen er ook meer bij. Dat kan allemaal omdat er genoeg voedsel en leefruimte voor de beesten is. Maar als er teveel konijnen komen dan neemt de groei af, want er komt een voedselgebrek en ruimtegebrek en er worden meer en meer konijnen door bijvoorbeeld vossen gevangen. De toename zal dus steeds kleiner worden. Het aantal konijnen kan nou eenmaal niet oneindig groot worden; daar zit een bovengrens G aan. 

Deze soort groei heet logistische groei.

Neem bijvoorbeeld G = 800, dan zal de grafiek van het aantal konijnen (K) als functie van de tijd (t) een soort van S-vorm zijn, met een horizontale asymptoot  K = 800. Zoiets dus (waarbij het linkerdeel ongeveer exponentiële groei is):
   

   
Voor logistische groei  blijkt te gelden:     

 
De hoeveelheid die er nog bij kan is G - K

De hoeveelheid die er al is is K,

In dit geval geldt dus dat  (G - K)/K = B • gt

Laten we daar K = ..... van gaan maken:
⇒  G - K = K • B • gt
⇒  K • B • gt  + K = G
⇒  K • (B • gt  + 1)  = G
   
Met B = 10 en g = 0,9 en G = 800 krijg je inderdaad de blauwe S-vorm hierboven.
   
   
  OPGAVEN
   
1. In een groot reservaat is een poos geleden een groep van 100 gazellen uitgezet. Nu wordt er elk jaar geteld hoeveel gazellen er zijn. Dat levert de tabel hieronder
   
 
jaar aantal (A)
1
2
3		 2871
2945
3020
jaar aantal (A)
4
5
6		 3098
3177
3258
   
  Er is in het reservaat plaats voor maximaal 10000 gazellen.
   
  a. Vul bovenstaande tabel aan met een kolom voor het aantal gazellen dat er nog bij zou kunnen (B) en een kolom voor het quotiënt Q = B/A
       
  b. Laat zien dat Q een exponentiële functie van de tijd t (in jaren) is en geef een functievoorschrift voor Q.
       
  c. Geef een functievoorschrift voor A(t) en bereken vervolgens na hoeveel jaar er meer dan 8000 gazellen zullen zijn.
 

jaar 57
   
2. Het aantal mobieltjes in Nederland neemt sterk toe. Een conciërge van een middelbare school heeft een poosje bijgehouden hoeveel mobieltjes er waren onder de leerlingen. Voor de eerste vijf maanden vond hij de volgende tabel:
       
 
maand (t) 1 2 3 4 5
aantal 20 24 30 37 45
       
  De man heeft wiskunde B in zijn pakket gehad en vermoedt dat de groei ongeveer exponentieel kan zijn. Hij ontwikkelt de formule  A(t) = 16,4 • 1,22t
       
  a. Leg duidelijk uit dat de groei inderdaad (ongeveer) exponentieel zou kunnen zijn, en verklaar hoe je deze formule kunt afleiden.
       
  b. Bereken met deze formule wanneer er voor het eerst 700 mobieltjes zullen zijn.
     

t = 19
  Maar dat is nou net het probleem: de school heeft maar 600 leerlingen, dus het model van de conciërge kan nooit kloppen. Haastig en met een rood hoofd stelt de man een nieuwe formule op, die er rekening mee houdt dat de groei op den duur minder zal moeten worden:
       
 

       
  c. Onderzoek wanneer beide modellen een verschil van ongeveer 120 mobieltjes geven.
     

19 maanden
  d. Leg uit hoeveel mobieltjes er volgens dit tweede model maximaal op deze school zullen komen.
     

490
       
3. Een bioloog bestudeert de oppervlakte (in mm2) van een bacteriekolonie op een Petrischaal in zijn laboratorium. Hij ontdekt dat de groei eerst exponentieel is, maar daarna afgeremd wordt. Na een groot aantal metingen stelt hij de volgende formule op:
       
 

       
  met A de oppervlakte in mm2 en t de tijd in dagen.
       
  a. Hoe groot zal de oppervlakte uiteindelijk worden?
     

8400 mm2
  De bioloog houdt elke dag de groeifactor bij, en rondt die af op één cijfer achter de komma. De eerste dagen vindt hij daarom steeds groeifactor 1,2 en dus denkt hij eerst dat de groei exponentieel is.
       
  b. Bereken na hoeveel dagen hij voor het eerst (afgerond)  een andere groeifactor  zal vinden.
     

8 dagen
  c. Bereken algebraïsch wanneer volgens de gegeven formule de oppervlakte gelijk zal zijn aan  5000 mm2
     

15,15 dagen
       
4. Nadat de eerste  I-pad in april 2010 in de Verenigde Staten in de winkels verscheen, nam de verkoop ervan erg snel toe. In het begin exponentieel, later nam de groeisnelheid ietsje af. Voor het aantal verkochte I-pads gold de volgende tabel:
       
 
maand 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
aantal (in miljoenen) 2,3 3,7 5,6 8,4 11,7 15,5 19,2 22,5 25,0 26,8 28,0
       
  Het aantal kan redelijk benaderd worden door de formule:
 

       
  G is het maximale aantal dat verkocht zal worden, en men heeft berekend dat dat ongeveer 30 (miljoen) zal zijn.
       
  a. Maak een derde rij waarin de waarde van B(t) =  log(G/A - 1) staat.
       
  b. Teken de grafiek van B en leid daaruit de waarden van a en b af.
     

12 en 0,22
   
5. Een visserijvereniging houdt goed de visstand in een groot meer in de gaten. Na een groot aantal metingen voorspelt men het model:
 

  Daarin is V = aantal ton vis  en  y = tijd in jaren met t = 0 in 1990 en  a een constante.
       
  a Bereken a als er in 2000 ongeveer 26 ton vis aanwezig is.
     

a ≈ 5
  b. De totale hoeveelheid vis zal naar een bepaalde grenswaarde naderen. Leg uit welke grenswaarde dat is, waarom die niet afhangt van a
     

V = 40
  Neem voor de rest van deze opgave a = 6
       
  c. Bereken algebraïsch wanneer de hoeveelheid vis gelijk zal zijn aan 30 ton
     

t = 12,95
  d. Bepaal met je GR wanneer de groeisnelheid van de vis maximaal zal zijn
     

t = 8,03
       
6. Examenopgave VWO Wiskunde A, 2005.
       
  Zonnebloemen zijn snelgroeiende planten die vaak worden gebruikt voor de productie van olie. Om zicht te krijgen op het groeiproces van zonnebloemen, worden regelmatig metingen gedaan. Bij een experiment is van een zonnebloem gedurende twintig weken elke week de lengte gemeten. Het resultaat van deze metingen is in de figuur hiernaast met stippen weergegeven.

In deze figuur zie je ook een globale grafiek die de groei van de zonnebloemen goed benadert. Bij die grafiek hoort de volgende formule:
 


In deze formule is L(t) de lengte van de zonnebloem in centimeters en t de tijd in weken vanaf het begin van de metingen.
  In de figuur kun je zien dat de grafiek van L nadert naar een grenswaarde. Verder verloopt de groei volgens de formule van L in het begin bij benadering exponentieel. Dit noemen we de exponentiële fase. Deze exponentiële fase duurt tot L de helft van zijn grenswaarde bereikt heeft.
       
  a. Bereken de groeifactor per week voor de eerste week.
     

1,81
  b. Bereken tot welke waarde van t de exponentiële fase duurt.
     

10,02
       
7. Bij een experiment met fruitvliegjes in een afgesloten ruimte heeft men het volgende model voor het aantal vliegjes opgesteld  (t is de tijd in dagen vanaf het begin van het experiment):
   

       
  a. Bereken algebraïsch na hoeveel dagen er 2000 vliegjes zullen zijn.
     

27,96
  Voor kleine waarden van t kan de formule geschreven worden als:
   

       
  b. Deze laatste formule is ook in de vorm  F = a • bt  te schrijven.
Laat zien dat dat zo is en geef de waarden van a en b
     

77,78 en 1,15
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)