Lineair algemeen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

In deze les gaan we bekijken hoe je in het algemene geval een formule van een rechte lijn kunt maken als je twee punten weet die erop liggen (lees ze af uit de grafiek of uit een tabel of  leid ze af uit een verhaaltje).

Stel bijvoorbeeld dat je op één of andere manier hebt ontdekt dat een lijn door  (2,6)  en  (7,12) gaat.

De formule zal altijd zijn  y = ax + b.  Je zult moeten vinden welke a en welke b bij deze lijn horen.

Stap 1.
Dan gaan we eerst op zoek naar het hellinggetal a.
We zien aan de twee punten:  bij 5 stappen opzij  (7 - 2)  moet je 6 omhoog gaan  (12 - 6)
Dat betekent bij één stap opzij  6/5 = 1,2 stap,omhoog. Dus  a = 1,2
Hoe hebben we die a berekend:

Met het symbool Δ bedoelen we voortaan "verschil"
Tussenstand:  de formule is  y = 1,2x + b

Stap 2.
Hoe vinden we b?
Simpel:  vul gewoon één van beide punten in!!!
Neem bijvoorbeeld het punt  (2,6). Dat betekent  x = 2 en y = 6 dus  6 = 1,2 • 2 + b 
⇒  6 = 2,4 + b  ⇒  b = 6 - 2,4 = 3,6

De vergelijking is dan:            y = 1,2x + 3,6

RECEPT:

Twee speciale gevallen.
1.  Een lijn door een punt met gegeven helling.
     Nou, makkelijk, dan heb je a al, en kun je stap 1 overslaan.
     Alleen nog maar een punt invullen bij stap dus.....

2.  Een lijn door een punt evenwijdig aan een andere lijn.
     Als de lijn evenwijdig is aan een andere lijn, dan is de helling van de lijn gelijk aan de helling van de andere lijn.
     Dat betekent dat je a alweer weet!
     Meteen weer naar stap 2 dus....
  OPGAVEN
1 a.  Geef een vergelijking van de lijn door  (3, 7) en  (6, 24)
 

y = 52/3x - 10

b.  Geef een vergelijking van de lijn door  (12, 80) en  (36, 32)
 

y = -2x + 104

c.  Geef een vergelijking van de lijn door  (-2.3,  8.4) en  (4.0, 7.5)
 

y = -1/7x + 113/14

  d.  Geef een vergelijking van de lijn door  (1, 7) en  (6, 19)

y = 2,6x + 4,4

     
2. Onderzoek of de punten   (34, 245) en (40, 325) en  (-12, -368)  op één lijn liggen.
   

nee

3.
In de kantine staat een grote metalen cilindervormige koffiekan. Elke morgen laat de kantinejuffrouw de van de vorige dag overgebleven koffie eruit lopen door het kraantje open te zetten (op t = 0).
Tussen de inhoud van de kan en de verstreken tijd vanaf het openzetten blijkt een lineair verband te bestaan.

Na 10 seconden stromen zit er in de kan nog 8 liter, na 16 seconden nog 3 liter.

a. Stel een vergelijking op voor de hoeveelheid koffie in de kan als functie van de tijd t vanaf openzetten.
 

K = -5/6t +161/3

b. Hoeveel koffie zat er oorspronkelijk in de kan?
 

161/3 liter

   
4. a Geef de vergelijking van de lijn door (3,10) die evenwijdig is aan  de lijn  y = 2x + 7
     

y = 2x + 4

  b Geef de vergelijking van de lijn door  (3,7) en (6,7)
     

y = 7

  c. Geef de vergelijking van de lijn door  (5, 8) die helling 3 heeft.
   

y = 3x- 7

 

5. Ik koop bij een ijskraam wat ijsjes voor mijn kinderen. het blijkt dat de prijs van een ijsje afhangt van het aantal bolletjes schepijs dat ik erop wil.
Voor 2 bolletjes betaal ik €1,40  en voor 8 bolletjes  €2,30.
Geef een formule voor de prijs van een ijsje als functie van het aantal bolletjes.
   

p = 1,10 + 0,15b

6. De scores voor een test bij de leerlingen kunnen in theorie variëren van 20 tot en met 75.
Een leraar wil daar graag een lineaire schaal van 3,0 tot en met 10,0 van maken.

Geef een formule waarmee hij bij een bepaalde score direct het bijbehorende cijfer kan uitrekenen.

   

c = 7/55s + 5/11

7. Voor een vaste telefoon betaal je per jaar een vast bedrag aan abonnementskosten, en daarnaast een bedrag voor het aantal belminuten dat je gebruikt hebt.
De familie Petersen heeft  532 minuten gebeld en betaalt  €117,84
De familie de Groot heeft  864 minuten gebeld en betaalt  €157,68
geef een formule voor het bedrag als functie van het aantal minuten.
 

B = 0,12m + 54

   
8. Als je wilt weten hoe warm het is, dan kan een krekel je dat vertellen!  Echt waar!!
De Zweedse onderzoeker Arrhenius ontdekte als in de negentiende eeuw dat het aantal keren dat een krekel tsjirpt een aanwijzing is voor de temperatuur.
Hij vond het volgende:
•  Tel het aantal tsjirps per 14 seconden.
•  Tel er 8 bij op.
•  Vermenigvuldig met 5.
•  Deel door 9.
Dan heb je het aantal graden Celsius!
   
  a. Stel een formule op voor de temperatuur T (in ºC) als functie van het aantal tsjirps per minuut (A).
     

T = 7/54A + 40/9

  b. Hoeveel tsjirps per minuut zal een krekel geven bij een temperatuur van 24ºC?
     

151

  De temperatuur is redelijk nauwkeurig. De krekel zit er hoogstens 2 graden naast.
       
  c. In plaats van te zeggen dat de krekel er 2 graden naast zit kun je ook zeggen dat hij/zij er per minuut maximaal een aantal tsjirps naast zit. Hoeveel?
     

15,4

       
9. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2002.

Drivewell, een fabriek in de VS die banden voor personenauto's produceert, onderzocht het verband tussen het aantal personenauto's in de VS en het aantal banden dat deze fabriek verkoopt. Uit dit onderzoek bleek dat het aantal banden dat Drivewell verkoopt bij benadering lineair afhankelijk is van het aantal personenauto's in de VS. Zie de volgende figuur.

       
 

       
  De getekende lijn gaat door de punten  (41; 1.6) en (65; 5.2). Daarmee kun je een vergelijking van de lijn opstellen.

Bereken met behulp van een vergelijking van deze lijn het aantal banden dat Drivewell waarschijnlijk zal verkopen als er 100 miljoen auto's in de VS zullen zijn.

     

10,45 miljoen

       
10. Iemand die alcohol heeft gedronken en in een auto gaat rijden heeft een verhoogde kans op een ongeluk. Deze kans hangt af van het bloedalcoholgehalte B, dat wordt uitgedrukt in  promillages. Een promillage van 1 wil zeggen dat 1 milliliter bloed één millegram pure alcohol bevat.

Onderzoekers hebben voor een aantal promillages de verhoogde kans op een ongeluk vastgesteld. Zie onderstaande figuur. In deze grafiek is bijvoorbeeld af te lezen dat bij een promillage van 1,3 de risicofactor R ongeveer 7 is. Dat wil zeggen dat de kans op een ongeluk zeven maal zo groot is als de kans bij een promillage van 0.

       
 

       
  Stel formules op voor de drie gedeelten van deze grafiek.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)