Nog meer limieten...

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
In de vorige les heb je gezien wat een "limiet" is en hoe je met je GR meestal wel kunt bepalen wat er uitkomt.
Maar de zaken kunnen soms wat gecompliceerder zijn.....

Probleem 1.

Neem de grafiek hiernaast, van f(x) = 2 + (x - 3).
Stel dat je daarvan de limiet van x naar 3 wilt berekenen.

Dan lukt dat niet door achtereenvolgens x = 2,5 en 2,9 en 2,99 en 2,999 enz. in te vullen. Aan de grafiek zie je wel dat de functie daar helemaal niet bestaat!
Je kunt alleen wel  x = 3,5 en 3,1 en 3,01 en 3,001 enz. invullen, want daar aan de rechterkant van 3 bestaat de grafiek wél. Aan die waarden zie je dat de limiet gelijk is aan 2.
In zulke gevallen geven we nauwkeuriger in de limiet aan vanaf welke kant je moet rekenen. Dat ziet er zó uit:

   
Spreek uit: "de limiet van de onderkant naar 3", en dat betekent dat je van getallen kleiner dan 3 naar 3 zelf toegaat. (Dus 2,9 en 2,99 en 2,999 enz.) Deze limiet bestaat in bovenstaand voorbeeld niet.
We spreken ook wel van de linkerlimiet (in de grafiek kom je van de linkerkant)
Spreek uit:  "de limiet van de bovenkant naar 3", en dat betekent dat je van getallen groter dan 3 naar 3 zelf toegaat. (Dus 3,1 en 3,01 en 3,001 enz.)  Deze limiet is in bovenstaand voorbeeld gelijk aan 3.
We spreken ook wel van de rechterlimiet (in de grafiek kom je van de rechterkant)
Deze notatie is onnauwkeuriger en mag je alleen gebruiken als de beide vorige limieten dezelfde waarde opleveren. Dus alleen als de linkerlimiet en de rechterlimiet dezelfde waarde opleveren mag je spreken over "DE"  limiet. In bovenstaand voorbeeld bestaat deze limiet dus niet!!!
       
Voorbeeld.    
 
Op de eerste plaats zie je dat 2 invullen niet kan, want dat levert 0/0 op.

Als je waarden kleiner dan 2 invult krijg je bijvoorbeeld:
f(1,9) = -1 en f(1,99) = -1  en  f(1,999) = -1 dus dat lijkt gelijk te zijn aan -1.

Als je waarden groter dan 2 invult krijg je bijvoorbeeld;
f(2,1) = 1 en f(2,01) = 1 en  f(2,001) = 2  dus dat lijkt gelijk te zijn aan 1.

Conclusie:

Aan de grafiek hiernaast zie je duidelijk wat er aan de hand is.
       
Probleem 2.
       
Soms komt er gewoon niets uit!    

Als je waarden steeds dichter bij 2 neemt, dan worden de berekende functiewaarden groter en groter, kijk maar:
f(1,9) = 100,   f(1,99) = 10000,   f(1,999) = 1000000,   enz. 
en ook van rechts:  f(2,01) = 10000,  f(2,001) = 1000000,  enz.

In zo'n geval zeggen we dat de limiet "oneindig" is  (symbool ¥ ). Maar oneindig is natuurlijk geen getal.  Met "de limiet is oneindig" wordt daarom bedoeld:  "je kunt de uitkomst zo groot krijgen als je maar wilt".
In de grafiek hiernaast zie je wat er aan de hand is.

In de onderste grafiek hiernaast zie je een geval waarin geldt:
       
             
1. Hiernaast zie je de grafiek van een functie f. Geef van de volgende uitdrukkingen aan of ze bestaan, en zo ja, hoe groot ze zijn.

         
  a. d.
         
  b. f(2) e.
         
  c. f.
             
2. Bereken de volgende limieten, als ze bestaan:    
             
  a. c. e.
             
  b. d. f.
             
Continuïteit.
       
De volgende regel vind ik één van de mooiste en duidelijkste afspraken over een wiskundig begrip:
       
Een functie is continu als je de grafiek ervan kunt tekenen zonder je potlood van het papier te halen.
       
Duidelijk! Je snapt meteen wat er bedoeld wordt, toch?

Helaas moeten formele wiskundigen deze prachtige afspraak weer bederven omdat ze hem niet precies genoeg vinden!

Zeikerds!

De officiële definitie van het continu zijn van een functie is (helaas) vervangen door:
       

Een functie f is continu in punt x = a als:

 

       
Ik hoop dat je ziet dat dat eigenlijk dezelfde afspraak is!
   
Als de linkerlimiet en de rechterlimiet beiden gelijk zijn aan f(a) dan loopt de grafiek van beide kanten naar dat punt (a, f(a)) toe.
Als de limiet ook nog gelijk is aan f(a) dan zit daar dus geen gaatje, maar bestaat de grafiek daar ook nog.
 
Samen garandeert dat, dat je bij punt x = a je potlood niet van het papier hoeft af te halen.
Verder noemen die zeikerds een functie continu op een heel stuk, als hij continu is in elk punt van dat stuk:
       
f(x) is continu op interval [a, b] als f(x) continu is in elk punt van dat interval.
       
Kortom: dan kun je de grafiek tekenen op [a, b] zonder je potlood van het papier te halen.
       
Voorbeeld.
De functies f(x) = x2  en  f(x) = ex  zijn continu, dus voor x< 0 en x > 0 zal deze gecombineerde functie ook continu zijn.
Het enige spannende is de continuïteit voor  x = 0.
Die limieten zijn niet gelijk, dus de functie is niet continu voor  = 0.
       
               
3.
  Onderzoek de continuïteit van f.
               
4.
  Onderzoek de continuïteit van f.
   
5.
  Voor welke waarde(n) van a is deze functie continu?
 

a = 32/7

   
6.
  Voor welke waarden van a en is deze functie continu?
 

a = -19/30
b
= -137/30

   
7. De functie g wordt gegeven door:
 
  Bereken de waarden van p en q waarvoor deze functie continu is.
 

p = -17
q = -3

Links- en Rechtscontinu.
       
Voor het continu zijn van een functie was het nodig dat zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet naar de functiewaarde zelf  naderden.
Het kan natuurlijk ook voorkomen dat slechts één van beiden naar de functiewaarde nadert en de andere niet (of zelfs niet bestaat) In zo'n geval noemen we de functie linkscontinu (linkerlimiet nadert naar f(a)) of rechtscontinu (rechterlimiet nadert naar f(a)).
Hieronder zie je een paar voorbeelden.
       

       
Ophefbaar discontinu
       
Een functie heet "ophefbaar discontinu"  als er "een gaatje in zit".
Dat betekent in wiskundetaal dat bij de waarde x = a  de linkerlimiet wél gelijk is aan de rechterlimiet, maar dat ze niet gelijk zijn aan de functiewaarde f(a)Dat kan zijn omdat f(a) niet bestaat of omdat f(a) gewoon een andere waarde heeft. 
Zoiets dus:
       

       
In zulke gevallen kun je gemakkelijk een functie vinden die overal precies gelijk is aan f(x) maar die het gaatje opvult.
Het gaatje dat je moet toevoegen heet de continumakende waarde  en de nieuwe functie wordt meestal aangegeven met f *
       
           
  OPGAVEN
           
8. De functie f wordt gegeven door:
 

           
  Bereken a en b als deze functie ophefbaar discontinu is.
Geef in dat geval ook de functie f *
   
9.
           
10.
           
11.
           
12. De functie fa wordt gegeven door:
 
           
  a. Voor welke a is f   linkscontinu in x = 1?
   

1/3 en 2/3

  b. Voor welke a is f   continu in x = 1?
   

2/3

  c. Voor welke a  vertoont f   asymptotisch gedrag in x = 1?
   
     
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)