© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Gewoon een leuke eigenschap....
- je hebt er verder niets aan trouwens-
       
Neem een willekeurige derdegraads functie die drie nulpunten heeft.
Laten we zeggen de nulpunten x = a en x = b en x = c.   Dat zijn dus de snijpunten met de x-as.
Dan geldt de volgende verbazingwekkende eigenschap:
       

Als je midden tussen twee nulpunten een raaklijn aan de grafiek tekent,
dan gaat die raaklijn door het derde nulpunt!

       
Leuk toch?

Hieronder zie je wat er aan de hand is:
       

       
In het linkerplaatje is de raaklijn midden tussen a en b getekend, in het middenplaatje tussen b en c en in het rechterplaatje tussen a en c. Al die raaklijnen gaan door het derde nulpunt. Tenminste dat zegt onze stelling.....

Het bewijs.
       
Noem de raaklijn de lijn y = px + q  en de vergelijking van de derdemachtsfunctie f(x).
Midden tussen x = a en x = b  zit   x = 1/2a + 1/2b

Als de lijn y = px+ q de functie f(x) raakt in x = 1/2a + 1/2dan heeft de vergelijking  f(x) =  px + q  daar een dubbele oplossing (anders zou het niet raken zijn, maar snijden).
Dat betekent dat de vergelijking  f(x) - px - q = 0  de oplossingen  (1/2a + 1/2b1/2a + 1/2b,  X )  heeft.

Laten we nu naar de nulpunten van een algemene derdegraads-vergelijking met drie nulpunten (a, b, c) kijken.
Die is dan te schrijven als (x - a)(x - b)(x - c) = 0
Haakjes wegwerken geeft  x3 - x2(a + b + c) + x(ab + bc + ac) - abc = 0
Wat een toeval:  de x-coŲrdinaten van de nulpunten zijn samen precies wat er bij x2 staat!
       

de x-coŲrdinaten van de nulpunten zijn samen precies de coŽfficiŽnt van x2

       
Maar de groene regel hierboven heeft een vergelijking   f(x) - px - q = 0  dus die heeft bij x2 precies hetzelfde staan als de vergelijking f(x) = 0.  Dat px - q verandert daar namelijk niks aan....

ē  De groene vergelijking heeft de nulpunten  (1/2a + 1/2b1/2a + 1/2b,  X )
ē   f(x)  heeft de nulpunten (a, b, c)

Als je ze allemaal optelt krijg je de coŽfficiŽnt van x2 en die is gelijk, dus moet gelden: 
 1/2a + 1/2b1/2a + 1/2b + X  = a  + b + c
Daaruit volgt kinderlijk eenvoudig dat X = c
Die raaklijn gaat dus inderdaad door het derde nulpunt.
       
Het algemenere geval.

Een derdegraadsfunctie waarvan x3 de coŽfficiŽnt 1 heeft kun je altijd schrijven als  y =  (x - a)(x - b)(x - c)
De nulpunten zijn  x = a  en x = b  en  x = c
Je kunt dat zien als een parabool   y =  (x - a)(x - b)  vermenigvuldigd met een rechte lijn  y = x - c

Laten we beginnen met de parabool  y = (x - a)(x - b)

Die heeft als nulpunten  x = a en x = b  dus de as ligt daar midden tussen in bij  x = (a + b)/2  
Wat gebeurt er als we die parabool vermenigvuldigen met de rechte lijn  y = x - c ????

Neem twee punten  op gelijke hoogte (y0), dus aan weerszijden van de as, en noem ze  (x1, y0) en (x2, y0)
Als je die beiden met  (x - c) vermenigvuldigt, dan krijg je de punten   (x1, y0 ē (x1 - c))  en   (x2y0 ē (x2 - c)) en die liggen dus op de derdegraadsfunctie.
       

       
Als je eens kijkt waar de lijn door die twee punten de x-as snijdt dan zie je meteen dat dat is bij x = c
Waarom? 

Nou, de helling is:

De lijn gaat door bijv.  (x1, y0x1 - y0c)  dus dat geeft   y0x1 - y0c = y0 ē x1 + b   ofwel  b = -y0c
De lijn snijdt de x-as  bij   0 = y0 ē x - y0c  dus bij  x = c 

De eerste eigenschap was dus gewoon een speciaal geval hiervan!  (Het geval  x1 = x2 op de as van de parabool)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)