© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Som-Productmethode
       
Laten we van een aantal kwadratische vergelijkingen de haakjes wegwerken:
       
(x - 3)(x - 4) =
(x + 2)(x - 5) =
(x + 6)(x + 12) = 
x2 - 4x - 3x + 12 
x2 + 2x - 5x - 10
x2 + 6x + 12x + 72
= x2 - 7x + 12
= x2 - 3x - 10
= x2 + 18x + 72
       
Daar staat eigenlijk steeds  (x + a)(x + b) = x2 + ....x + ......

-3 en -4 leveren  -7 en 12
2 en -5 leveren -3 en -10
6 en 12 leveren 18 en 72

Zoals je ziet, is:   laatste getal = ab en het middelste getala + b
En nu komt de vraag van deze les: 
       

Kunnen we het ook andersom?

       
Ofwel: als we een kwadratische formule zonder haakjes krijgen kunnen we dan die haakjes er weer in zetten?
Voorbeeld:   x2 + 7x + 12 = (x + ? )(x + ? )
We zoeken dus twee getallen a en b zodat geldt  ab = 12  en  a + b = 7.
een beetje proberen levert al gauw  a = 3 en b = 4  (of andersom)

Schrijf de volgende formules in de vorm  (x + a)(x + b)
       
    x2 + 19x + 60

(x + 4)(x + 15 )

    x2 + 8x + 16

(x + 4)(x + 4)

    x2 - 20x + 64

(x - 16)(x - 4)

    x2 + 7x - 18

(x - 2)(x + 9)

       
Handige tip
Als je het moeilijk vindt om die twee getallen te vinden, kijk dan eerst naar het getal zonder x erbij.
Dat moet gelijk zijn aan ab  en daar zijn vaak niet zoveel mogelijkheden voor.
Neem die laatste van vraag 1:   
x2 + 3x - 40.
Als je 40 ziet, dan zijn eigenlijk de enige mogelijkheden:  40 • 1 en  20 • 2  en  10 • 4  en  8 • 5   en dat was het.
Vraag je daarna af: met welk van deze koppels kan ik het getal 3 fabriceren met plus of min?
Dan kom je al gauw uit op  8
- 5, en daarmee heb je het antwoord gevonden.
       
Wat te doen als er voor het kwadraat nog een getal staat?

Op de eerste plaats:  Niet in paniek raken. Het is maar een getal....
Zet dat getal eerst buiten haakjes, en pas dan bovenstaande methode toe op het deel binnen de haakjes.

Voorbeeld:
3x2 + 6x - 72  =  3(x2 + 2x - 24) = 3(x + 6)(x - 4).

Voorbeeld:
8 - x2 - 2x  = -x2 - 2x + 8 =  -(x2 + 2x - 8) = -(x - 2)(x + 4)

Maar ehh....   wat hebben we eigenlijk aan al deze flauwekul?

Het nut ervan zit hem in de volgende eenvoudige constatering, die we in de vorige les al gebruikten::

       

A • B = 0   dan is  A = 0  óf   B = 0

       
Als we willen oplossen x2 + 13x + 42 = 0 dan is dat niet zo makkelijk.
Maar als we het schrijven als  (x + 6)(x + 7) = 0 dan wel!!!
Immers daar staat A • B = 0  tenminste als je neemt   A = x + 6  en  B = x + 7
A = 0 geeft  x = -6
B = 0 geeft x = -7
De oplossingen van  x2 + 13x + 42 = 0 zijn daarom x = -6  en  x = -7
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Los exact op:
     
  a. x2 + 11x + 30 = 0
       
  b. x2 - 11x + 28 = 0
       
  c. x2 + 5x = 24
       
  d. x2 + 7x + 6 = 0
       
  e. x2 = 5x + 45
       
  f. x2 + 6x = 7x  + 42
       
2. Los exact op:
       
  a. 6x2  + 4x =  90 - 8x
       
  b. 2x - 3x2  =  2x2 - 8x - 28 
       
  c. (x + 3)(x - 2) = 6 - 11x - 3x2
       
3. a. Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van  y = 5x - 6  en  yx2 + 4x - 8
       
  b. Een lijn op hoogte y = 24  snijdt de grafiek van  y = x2 + 6x - 12  in de punten A en B.
Bereken exact de afstand AB.
       
  c. Bereken algebraïsch de snijpunten van de grafieken van   y = x2 + 5x - 1  en  y = 2x2 - 6x + 9
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)