© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Formules opstellen en  Ongelijkheden oplossen.
       
Hoe je ongelijkheden moet aanpakken kan ik het beste met een voorbeeld laten zien.

Voorbeeld
Als je veel energie verbruikt is het misschien voordelig om zonnecollectoren op je dak te laten plaatsen.
De aanschaf en het installeren van zulke panelen kost €30.000,-  maar je kunt erop rekenen dat ze 25 jaar meegaan..
Als je eenmaal zonnepanelen hebt, dan kost het je nog maar €0,17 per kWh energie, terwijl zonder panelen de prijs ongeveer gelijk is aan  €0,42 per kWh.

Stel dat een gezin per jaar x kWh energie verbruikt.

Zonder zonnepanelen zijn de jaarlijkse kosten dan  K = 0,42 • x
De zonnepanelen zelf kosten per jaar 30000/25 = 1200  en daar komt dan nog 0,17 per kWh bij
Met zonnepanelen zijn de totale kosten dan  K = 1200 + 0,17 • x
       
Als je wilt weten bij welk verbruik de kosten met zonnepanelen lager zijn dan de kosten zonder zonnepanelen dan  moet dus gelden:

1200 + 0,17x < 0,42x

Dit noemen we in de wiskunde een ongelijkheid. Dat is elke vergelijking met een  < of > of ≤ of  ≥ teken.

Hiernaast heb ik de grafieken van  y = 1200 + 0,17x  en  y = 0,42x geplot. Je ziet dat bij laag verbruik de blauwe grafiek onder de rode ligt. Dan zijn de kosten zonder zonnepanelen dus lager dan de kosten met zonnepanelen.

Maar vanaf het snijpunt S  ligt de rode lijn lager dan de blauwe dus zijn dan de kosten met zonnepanelen lager.
       
Het enige dat we moeten doen is dus dat snijpunt uitrekenen, en dat gaat met de GR gelukkig erg makkelijk;

Y1 = 1200 + 0,17X
Y2 = 0,42X
Cacl - intersect levert dan  x = 4800 en y = 2016

Dat betekent dat de kosten gelijk zijn bij een verbruik van 4800 Kwh en die kosten zijn dan €2016 per jaar.
De oplossing van de ongelijkheid is dus  x > 4800  (want dan ligt de rode lijn onder de blauwe).
       
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Een werknemer wil in verband met zijn nieuwe baan gaan verhuizen van Groningen naar Maastricht. Daarvoor zoekt hij een verhuisbedrijf. Hij heeft berekend dat alles wel in één verhuiswagen kan, en leest de offertes van drie verhuisbedrijven. Het betreft de bedrijven Budget Verhuisservice,  Mast BV en  Nieuwenhuis Verhuizingen.
Elk bedrijf vraagt voor het gebruik van een verhuiswagen een vast bedrag per dag. Verder komt daar nog bovenop een bedrag per kilometer.
Budget Verhuisservice vraagt voor de wagen €400,-  en verder per km nog €2,50.
Mast BV  vraagt voor de wagen €550,- en verder per km nog €1,60.

Stel formules op voor de totale vervoerkosten K en de afstand a  en bereken bij welke afstanden welk bedrijf het goedkoopst is.
       
2. Een automobilist wil een nieuwe auto gaan kopen, maar hij twijfelt nog tussen een auto die rijdt op benzine en een auto die rijdt op LPG (gas). LPG is goedkoper: het kost per liter  €0,98  terwijl benzine per liter €1,75 kost.
De auto die hij op het oog heeft rijdt op benzine 1 op 14, en met LPG 1 op 11 (dat betekent dat met 1 liter benzine 14 km gereden kan worden en met 1 liter LPG 11 km).
Maar de wegenbelasting per jaar is voor benzine €430,- en voor LPG  €910,-.
Stel dat de automobilist per jaar k kilometer rijdt.

Stel formules op voor de totale kosten K per jaar en het aantal kilometers k, en bereken bij welke aantallen kilometers per jaar de automobilist het best de LPG auto kan nemen.
       
3. In de grafieken hiernaast staan de kosten voor een  mobiele telefoon bij drie aanbieders.
     
  a. Welke aanbieder rekent de laagste kosten per belminuut?
     
  b. Stel voor elke aanbieder een vergelijking op voor de kosten en het aantal belminuten en bereken vervolgens welke aanbieder bij welk aantal bel minuten het goedkoopst is.
     
  Een nieuwe aanbieder richt zich op mensen die veel bellen. Deze aanbieder vraagt een basisbedrag van €30, -
     
  c. Hoeveel moet men per belminuut vragen om vanaf 100 belminuten de goedkoopste te zijn?
       
4. De secretaris van een voetbalvereniging houdt al jaren nauwkeurig bij hoeveel leden de vereniging heeft.  Er zijn twee soorten leden:  jeugdleden en seniorleden.
Beide aantallen zijn in de loop der jaren gegroeid.

Voor de jeugdleden geldt  J = 120 + 14t  en voor de seniorleden geldt  S =  240 + 8t
Daarin is t de tijd in jaren met t = 0 in 1980.
       
  a. Hoe kun je zonder een berekening te maken direct aan deze formules zien welk van beide ledensoorten het snelst groeit?
       
  b. Bereken in welk jaar er evenveel jeugdleden als seniorleden zullen zijn als deze groei zo doorgaat.
       
  c. Stel een formule op voor het totaal aantal leden als deze groei zo doorgaat en bereken daarmee in welk jaar het totaal aantal leden voor het eerst meer dan 1800 zal zijn.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)