© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)  

Nulpunten en Grenswaarden.  
1.  Nulpunten.

Nulpunten zijn de snijpunten van de grafiek met de x-as.
 Als een nulpunt gevraagd wordt, hoef je alleen de x te noemen (de y is niet nodig, want die is namelijk....NUL natuurlijk!)
Het berekenen van nulpunten met de rekenmachine gaat als volgt:

stap 1: Voer de formule in bij Y =     en zorg via WINDOW dat je de nulpunten in beeld hebt.
   
stap 2: Druk op  2nd CALC en kies 2: zero
   
stap 3: Kies door met de cursorpijltjes omhoog of omlaag te gaan de juiste formule  (zie je boven in beeld)
(opm: als er maar één formule in je GR staat hoef je dit uiteraard niet te doen)
   
stap 4: Je rekenmachine vraagt nu "Left Bound?"
Ga met de cursor aan de linkerkant van het nulpunt staan, en druk op ENTER
   
stap 5 Je rekenmachine vraagt nu "Right Bound?"
Ga met de cursor aan de rechterkant van het nulpunt staan, en druk op ENTER
   
stap 6. Je rekenmachine vraagt nu "Guess?"
Ga met de cursor (ongeveer) op het nulpunt staan en druk weer op ENTER.
Dan verschijnen de coördinaten onder in beeld.
Voorbeeld:  Zoek de coördinaten van het nulpunt van de grafiek van y = √(x + 2) - 3

De oplossing in 8 etappes:

Het gezochte nulpunt is  x = 7

Grenswaarden.

Grenswaarden zijn waarden waar de grafiek "uiteindelijk" naar toe gaat lopen.
Omdat meestal in zo'n geval de tijd op de x-as staat, is dat dus de hoogte die de grafiek helemaal aan de uiterst rechterkant bereikt.
Sommige grafieken hebben zo'n grenswaarde, sommigen ook niet. Een simpele rechte lijn bijvoorbeeld wordt alsmaar hoger en hoger (of lager en lager) en zal niet naar één of andere grenswaarde toelopen.

Hier zie je twee grafieken  die wel zo'n grenswaarde hebben:
   

   
Ik heb die grenswaarde G in de grafiek aangegeven met een stippellijn bij de letter G.

Hoe vind je zo'n grenswaarde?

Ik zou simpelweg de formule in Y1 van de GR zetten in de tabel (TABLE) gaan kijken en dan helemaal naar onderen scrollen om te kijken of de y-waarden naar een constant getal toe lopen.

Die rechterformule hierboven is bijvoorbeeld de formule  N = 5 + 30t • 2-t
Controleer zelf in  je tabel dat deze grafiek naar de grenswaarde N = 5 toeloopt

TABLE
Als je de instellingen van je tabel wilt veranderen gaat dat zo:
  Druk op 2nd tblset
Tblstart = ....   geeft het begin van de tabel.
ΔTbl = .....  geeft de stapgrootte van de tabel.
   
  OPGAVEN
1. Bereken de nulpunten van de grafieken van de volgende functies:
             
a. y = 2x5 - 8x3 + 10
b. N  = 0,003t3 - 0,12t2 + 0,06t
  c. Q = √(p + 8) - 0,2p + 2,8
  d. G = 5 - 0,2 • 1,8a
             
2.

Bereken de grenswaarden van de grafieken van de volgende formules:

             
  a.
             
  b. N =  45,8 - 24 • 0,96t
             
  c.
             
3.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2007. (gewijzigd)

Een mobiele telefoon werkt op een batterij. Zo'n telefoon kan vrij lang aanstaan als je niet belt. De maximale tijd dat de mobiele telefoon aan kan staan zonder gebruikt te worden heet de stand-by tijd. Als je wel belt, verbruikt de telefoon meer energie. De batterij is dan sneller leeg.

Bij een telefoon op stand-by stand met een moderne batterij wordt het spanningsverloop benaderd door de formule:

             
 

             
  Hierin is V  de spanning van de batterij in Volt en t de tijd in uur.
Op tijdstip t = 0 is de batterij vol.

De telefoon staat vanaf het ogenblik waarop de batterij net helemaal is opgeladen stand-by totdat de spanning tot 0 is gedaald. Bereken hoe lang dat duurt in In minuten nauwkeurig is.
             
4. In 1972 werd de mesoplodon densirostris ontdekt in de oceaan. Het is een dolfijnensoort die 7 meter lang kan worden. Mede naar aanleiding van deze vondst deed de bioloog C. Paxton onderzoek naar de vraag hoeveel van dergelijke grote diersoorten er in de toekomst nog meer ontdekt zullen worden. Paxton beperkte zich tot wat hij zeemonsters noemde: dieren die in zee leven en meer dan 2 meter lang kunnen worden.
Op basis van gegevens over het aantal ontdekte zeemonsters in verschillende jaren stelde Paxton het volgende model op:
             
 

             
  In deze formule is P(t) het aantal soorten dat tot en met jaar t bekend is. Dus als je een schatting wilt van het aantal soorten dat bijvoorbeeld op het eind van het jaar 1980 bekend is, dan moet je t = 1980 invullen in de formule. De uitkomst wordt afgerond op gehelen.

Vanaf eind 1895 tot en met eind 1995 zijn er in werkelijkheid 30 soorten ontdekt.
             
  a. Bereken hoeveel soorten er volgens het model van Paxton zouden zijn ontdekt in deze periode.
             
  J. Groot schreef in 2003 een artikel in het wiskundeblad Pythagoras over het model van Paxton. Daarin schreef hij dat hij met dezelfde gegevens een ander model had gevonden. Zijn model zag er als volgt uit:
G(t) = 218 • (1 − 0,9799t − 1798 )
In deze formule is G(t) het aantal soorten dat tot en met jaar t bekend is. Ook hier wordt de uitkomst afgerond op gehelen.
             
  b. Bereken hoeveel soorten zeemonsters er na 2009 nog ontdekt zullen worden volgens het model van Groot en volgend het model van Paxton.
           

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)