h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer variabelen.
       
Als je formules met meerdere variabelen  (verschillende letters) hebt, dan kun je daar niet zo heel veel mee. Je kunt er bijvoorbeeld geen grafiek van met je GR plotten, of er vergelijkingen mee oplossen.
Deze les bekijken we een paar dingen die je wl kunt doen met formules met meerdere variabelen.

1.  Waarden invullen.

Zodra je van variabelen uit je formule de grootte weet kun je die variabele natuurlijk direct vervangen door hoe groot hij is. Dat scheelt weer een variabele.
Als je dat nou net zo vaak weet te doen totdat je nog maar n variabele over hebt, dan kun je wel allerlei berekeningen met je GR maken  (CALC en dan  maximum, of intersect of zero of zoiets).

Voorbeeld.  Examenopgave HAVO Wiskunde A, 2009-I
       
Voor vuilniszakken bestaat er een formule om het volume te berekenen. Een volle vuilniszak wordt bovenaan dichtgeknoopt en krijgt daardoor ook een bijzondere vorm. Zie de foto hiernaast.
Het volume V (in liter) wordt berekend met:

     

     
Hierin zijn a en b de kortste en de langste zijde (in dm) van een platte, rechthoekige vuilniszak en is x de hoogte van de knoopstrook (in dm).
Een vuilniszak met een korte zijde van 6 dm en een knoopstrook van 0,5 dm heeft een volume van 52 liter.

Bereken de lange zijde b van de vuilniszak.
       
Nou, uit de tekst haal je  a = 6 en x = 0,5 en V = 52 dus dat kun je direct invullen in de V -formule.
Dat geeft:

 
Nu is er nog maar n variabele, namelijk alleen een b.
Ik zou nu meteen mijn GR grijpen en invoeren:  Y1 = 52  en Y2 = 6^3*((X - 0,5)/(3,142 * 6) - 0,159)
Let even op die haakjes bij de breuk!
CALC - Intersect levert dan X = b = 8,036 dm.

Een probleem als dit oplossen vraagt eigenlijk niet veel meer dan even goed te lezen. 
   
2.   Substitutie.

In een eerdere les zagen we al hoe we met behulp van hulpformules het aantal variabelen in een formule kunnen terugbrengen.
Daarom direct maar een voorbeeld van hoe het werkt.

Voorbeeld
Een marktkoopman merkt dat hij meer sinaasappelen gaat verkopen als hij de prijs ervan  verlaagt. Op dit moment verkoopt hij per dag 120 kg sinaasappelen voor een prijs van 2,30 per kilo. Hij heeft ontdekt dat bij elke 10 cent prijsverlaging hij 15 kg extra verkoopt. Bereken zijn maximale omzet.
 
De omzet O  is gelijk aan  O = P Q  waarbij P de prijs per kg is en Q het aantal verkochte kilo's.
Dat is een formule met twee variabelen, dus daar kun je voorlopig niets mee.
Maar stel dat hij zijn prijs x dubbeltjes verlaagt.

Dan wordt die prijs in centen dus  P = 230 - 10x
Maar dat betekent dat je de P in de formule mag vervangen door 230 - 10x. Dat heet substitutie en dat  geeft in dit geval de nieuwe formule  O = (230 - 10x) Q.
Nog steeds een formule met twee variabelen.......
Maar het aantal verkochte kilo's is dan  Q = 120 + 15x  dus mag je de Q wel vervangen door (120 + 15x)
Dat geeft de nieuwe formule  O = (230 - 10x) (120 + 15x)
En dat is een formule met maar n variabele:  alleen de x
Invoeren in de GR:  Y1 =  (230 - 10X) (120 + 15X)
Calc - maximum  geeft een maximale omzet  van 36038 cent voor X = p = 7,5
Hij moet dus een prijs van  230 - 10 7,5 = 155 cent per kg  (1,55) vragen en dan is zijn omzet  360,38
       
3.   Formules omschrijven naar andere formules.
       
Met de balansmethode kun je natuurlijk al formules veranderen in andere formules. Dat werkt geweldig bij lineaire formules. zoals in dit voorbeeld:

Voorbeeld
Schrijf de formule  A = 4(P + 3)  + 8  in de vorm  P = ......
Dat gaat z:
A = 4P + 12 + 8    (haakjes weg)
A = 4P + 20   (samennemen)
-4P = 20 - A   (4P en  A naar de andere kant brengen) 
P = 5 - 0,25(alles delen door -4)
Klaar! 
Je zegt ook wel dat je nu P hebt vrijgemaakt. Hij staat immers alleen; "vrij" van de rest.

Maar ook formules met breuken kun je vaak anders schrijven.
Daarbij is het vaak handig om eerst alles te vermenigvuldigen met de noemer.

vermenigvuldig bij breukformules alles met de noemer.

Voorbeeld
Gegeven is de formule  S5/(2t - 4)  .  Maak t vrij.

Vermenigvuldig beide kanten met de noemer (2t - 4)  dat geeft  S(2t - 4) = 5
Haakjes weg:  2St - 4S = 5
4S naar de andere kant:  2St = 5 + 4S
Deel alles door 2S:   t = (5 + 4S)/2S    of wat ook kan:  t = 5/2S + 4S/2S5/2S + 2

       
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Examenvraagstuk  HAVO Wiskunde A, 2009 - II.

Voordat je met verven begint, wil je natuurlijk weten hoeveel (blikken) verf je nodig hebt. Omgekeerd kun je je ook afvragen hoeveel vierkante meter je kunt verven met n blik verf. Afhankelijk van het soort kwast dat wordt gebruikt, verlies je tussen de 5 en 10 procent van de verf. Het verband tussen deze zaken staat in de volgende formule, waarin ook rekening is gehouden met verlies van verf door gebruik van de kwast:
       
 

  Hierin is:
H de hoeveelheid verf (in liter);
A de oppervlakte (in m2);
d de dikte van de verflaag (in micrometer);
V het percentage vaste stof;
p het verliespercentage bij kwasten; dit varieert van 5 tot 10.

De verf die je wilt gebruiken, wordt verkocht in blikken van 2,5 liter. Op de blikken staat dat het percentage vaste stof 35 is. Je wilt met een kwast een verflaag van 70 micrometer dikte aanbrengen.
       
  a. Bereken hoeveel vierkante meter je met zon blik verf maximaal kunt schilderen.
       
  Iemand heeft 15 liter verf gekocht met een percentage vaste stof van 67. Hij gaat een verflaag van 60 micrometer dikte aanbrengen.
de oppervlakte A die hij met deze hoeveelheid kan verven nu alleen nog afhangt van het verliespercentage p. Het verband tussen A en p is lineair. Bovenstaande formule is dus te herschrijven tot een formule van de
vorm A = a p + b.
       
  b. Bereken a en b.
       
2. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2015-II

Veel mensen hebben geplooide gordijnen voor de ramen hangen. Om zon gordijn te maken, heb je gordijnstof nodig. Deze wordt verkocht in verschillende stofbreedtes. In veel gevallen is de gordijnstof niet breed genoeg om er een passend gordijn mee te maken. Daarom wordt er vaak eerst een rechthoekige lap van gemaakt door meerdere banen gordijnstof aan elkaar te naaien. Daarna worden de plooien gemaakt en wordt het geheel afgewerkt tot een gordijn, waarbij de banen altijd verticaal komen te hangen. Zie de figuur.
       
 

       
  Om een gordijn met een bepaalde breedte te kunnen maken, is het nodig dat de oorspronkelijke lap minimaal 2 en maximaal 2,5 keer zo breed is als het uiteindelijke gordijn. Deze verhouding noemen we de plooiverhouding.

Gerard maakt een gordijn van n baan gordijnstof met een stofbreedte van 140 cm. Hij wil dat het gordijn zo breed mogelijk wordt.
       
  a. Bereken de maximale breedte van het gordijn.
       
  In de vorige vraag wordt geen rekening gehouden met het afwerken van de zijkanten van het gordijn. Toch is dat wel nodig. Ook bij het aan elkaar zetten van de banen gaat gordijnstof verloren. In de ateliers waar gordijnen worden gemaakt, gebruikt men de volgende formule om het aantal banen te berekenen:
       
 

       
  Hierin is B het aantal banen, G de breedte van het gordijn in cm, S de stofbreedte in cm en P de plooiverhouding. In de ateliers rekent men altijd met een geheel aantal banen; men rondt B altijd naar boven af om niet te weinig te hebben.

In een atelier moet men een gordijn maken van 275 cm breed. De stofbreedte is 140 cm en men gebruikt de plooiverhouding 2,5.
       
  b. Bereken het benodigde aantal banen.  
       
  Voor de afwerking van het gordijn aan de  boven- en onderkant wordt in totaal 30 cm per baan gerekend. Als het gordijn bijvoorbeeld 100 cm hoog moet worden, is er dus 130 cm gordijnstof per baan nodig.

Karen laat een gordijn maken met een breedte van 280 cm, een hoogte van 170 cm en een plooiverhouding 2. Ze heeft hiervoor een gordijnstof gekozen met een stofbreedte van 90 cm. Deze stof kost 12,95 per strekkende meter. Zie de figuur.

Het atelier rekent alleen de kosten van de gordijnstof, het maken is bij de prijs inbegrepen.

     
  c. Bereken hoeveel Karen voor het gordijn moet betalen.
     
  Bij een plooiverhouding van 2,5 kan de formule van B tot 
G = 0,4B (S - 7) worden herleid.
     
  d. Geef deze herleiding.
       
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)