ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Haakjes
       
Haakjes zijn de manier voor een wiskundige om in te grijpen in de normale gang van het rekenen.
Kijk, als de opgave is  3 • 4 + 7,  dan is afgesproken dat je eerst moet vermenigvuldigen en daarna pas optellen. Vermenigvuldigen, dat zorgde immers voor die blokjes?

Maar als je nou t๓ch graag wilt dat er eerst opgeteld wordt en pas daarna vermenigvuldigd? Hoe krijg je dat voor elkaar?

Hier springen haakjes te hulp.

Als je ergens haakjes omheen zet, dan maak je er eigenlijk kunstmatig ้้n geheel (้้n blokje) van.
Als we vermenigvuldigen met lijm vergelijken zouden we haakje als een pleister kunnen zien.
(4 + 7) is opeens ้้n geheel geworden, dus 3 • (4 + 7)  ๓๓k!  De haakjes plakken 4 + 7 aan elkaar, en door het vermenigvuldigen zit ook 3 eraan vastgeplakt; zoiets dus:

       
Voordat je iets drie keer kunt doen zul je toch echt eerst moeten uitrekenen wat er onder de pleister zit!
Rechts van het gelijkteken moeten we eerst uitrekenen wat de pleister voorstelt: dat is 4 + 7 en dat is 11.
Daarna doen we keer drie en komt er 33 uit.
De opgave:    4 • (3 + 2) + (5 - 2) • 8  + 2 • (6 + 4 • 2) zou het volgende plaatje opleveren door een wiskundebril gezien:
       

       
Onder die pleisters zit achtereenvolgens 5 en 3 en 14  dus er staat  4 • 5 + 3 • 8 + 2 • 14 = 20 + 24 + 28 = 72

Maar nu het probleem....

Ok้, makkelijk gezegd natuurlijk, die pleisters "gewoon even uitrekenen". Maar als er nou letters in staan? Dan kun je niets berekenen en loopt de hele boel dus vast!
T๓ch is er dan een manier om de pleisters te verwijderen. Dat zit hem hierin:

Als je  3 • (4 + 2) berekent, dan moet je dus eerst 4 + 2 doen; daar komt 6 uit, en dan doe je 3 • 6 = 18.
Het is alsof er bij Sint Maarten aan de deur 3 kinderen staan die ik elk zes  snoepjes ga geven. Ze krijgen  elk vier dropjes en twee zuurtjes. Dan kan ik twee dingen doen. Ik kan het eerste kind een pakketje met zes snoepjes geven, daarna het tweede, en tenslotte het derde. Dan heb ik 3 • 6 = 18 snoepjes weggegeven, kijk maar:
       

       
Maar het kan ook anders. Ik kan ook eerst de dropzak pakken en elk kind 4 dropjes geven, en daarna pas de zuurtjestrommel om elk kind 2 zuurtjes te geven. In dat geval geef ik eerst 3 • 4 = 12 dropjes weg, en vervolgens 3 • 2 = 6 zuurtjes; samen uiteraard weer 18 snoepjes:
       

       
Waar komt het op neer? Wat hebben we hier nou eigenlijk ontdekt?
Nou,  3 • (4 + 2)  is hetzelfde als  3 • 4 + 3 • 2.
JAWEL: het is gelukt: De haakjes zijn verdwenen!
Het is alsof het getal drie zich "verdeelt"  over zowel de 4 als de 2 binnen de haakjes. Deze grappige eigenschap heet de DISTRIBUTIEVE eigenschap (de "verdeel"-eigenschap).  Je zou het z๓ in beeld kunnen brengen:
       

       
Bedenk dus dat zo'n blauwe pijl staat voor vermenigvuldigen.
Alhoewel deze eigenschap voor getallen dus niet echt nodig is, is het bij letters w้l erg handig: 't is een manier om haakjes weg te halen.
En als er m้้r blokjes binnen de haakjes staan, dan maak je gewoon m้้r pijlen! Kijk maar:
       

       
Het blauwe vermenigvuldigingsteken verspreidt zich via de drie blauwe pijlen naar de drie blokjes die binnen de haakjes staan.
       
Vijf  adders onder het gras!
       
1.  Blokjes binnen de haakjes
Neem de som   5 • ( x + 2 • y)
Als we proberen de haakjes weg te halen, dan maken we van die blauwe pijlen. Maar daarbij moet je je wel bedenken dat 2 • y  ้้n geheel is (้้n blokje) dus daar hoeft ook maar ้้n pijl naartoe! (Dus NIET eentje naar de 2 ้n eentje naar de y)
Het moet dus z๓:
   

       
2.  Blokjes v๓๓r de haakjes
Ook v๓๓r de haakjes kan meer dan alleen maar ้้n getal staan.
Bijvoorbeeld:   3 • x • (4 + 2 • y)
Nu is 3 • x ้้n blokje, dus er gaan twee pijlen: eentje van het blokje 3 • x naar het blokje 4  en de andere van het blokje 3 • x naar het blokje  2 • y. Je ziet dat we nu al bezig zijn met blokjes binnen blokjes!!!! Het ziet er dus z๓ uit:
   

       
3.  Een minteken binnen de haakjes.
Bedenk daarbij dat een minteken voor een getal hetzelfde is als  "+ - ".  Dus als er staat  5 - 4x  dan kun je dat het best (in gedachten) lezen als 5 + -4x. Dan gaat het wegwerken van de haakjes vanzelf.
2 • (5 - 3x)  gaat als volgt:
   

    En zo ziet dan   3 • (-5 - 2x)  eruit:
   
       
4.  Een minteken v๓๓r de haakjes.
Stel dat er staat   -(3 + 4x), wat moet je dan met dat minteken?
Nou, 't is erg simpel:  er staat hier eigenlijk  -1 • (3 + 4x).  Die 1 is weggelaten omdat hij niet nodig is, immers  -1 • 5 = -5,  en  -1 • 4 = -4  enz.
Met zo'n  -1 in gedachten ervoor is het wegwerken makkelijk: het geeft  -1 • 3 + -1 • 4x = -3 - 4x 

Op dezelfde manier gaat   5 - (2x - 4):
   
       
5. Vergeet de vorige les niet!
Bedenk goed dat we deze les alleen maar bezig zijn geweest om ้้n blokje te vereenvoudigen. Natuurlijk kunnen er nog steeds m้้rdere blokjes in een som zitten. Dat was in het allerlaatste voorbeeld ook al zo.
Neem de opgave   2 + 3 • (x - 4) + (x + 3) • 5 + 6 • 2
Die ziet er z๓ uit:
   
    Het is dus streng verboden "alvast"  2 + 3 uit te rekenen: die zitten in verschillende blokjes en kun je NIET samennemen.
Na haakjes wegwerken staan er maar liefst  6 blokjes:  2 + 3x - 12 + 5x + 15 + 12
Maar na samennemen zijn er nog maar twee over:    8x + 17
Da's toch een stuk simpeler dan wat er oorspronkelijk stond.......
       
((( )( )( ))( ))( )(((( )( ))((((( )( )( )(((((( )( )( )( ))(( )))))))) ( )( )(((( ) ( )(( )( )( )))( )( )(( )((( ))(((( ))))))(( )( )( )( ))( )( ))(( )( )( )( )( )(( )( )(((((((( )))((( )( )( ))( ))( )(((( )( ))((((( )( )( )(((((( )( )( )( ))(( )))))))) ( )( )(((( ) ( )(( )( )( )))( )( )(( )((( ))(((( ))))))(( )( )( )( ))( )( ))(( )( )( )( )( )(( )( )(((((((( )))((( )( )( ))( ))( )(((( )( ))((((( )( )( )(((((( )( )( )( ))(( )))))))) ( )( )(((( ) ( )(( )( )( )))( )( )(( )((( ))(((( ))))))(( )( )( )( ))( )( ))(( )( )( )( )( )(( )( )(((((((( )))((( )( )( ))( ))( )(((( )( ))((((( )( )( )(((((( )( )( )( ))(( )))))))) ( )( )(((( ) ( )(( )( )( )))( )( )(( )((( ))(((( ))))))(( )( )( )( ))( )( ))(( )( )( )( )( )(( )( )(((((((( )))((( )( )( ))( ))( )(((( )( ))((((( )( )( )(((((( )( )( )( ))(( )))))))) ( )( )(((( ) ( )(( )( )( )))( )( )(( )((( ))(((( ))))))(( )( )( )( ))( )( ))(( )( )( )( )( )(( )( )(((((((( )))((( )( )( ))( ))( )(((( )( ))((((( )( )( )(((((( )( )( )( ))(( )))))))) ( )( )(((( ) ( )(( )( )( )))( )( )(( )((( ))(((( ))))))(( )( )( )( ))( )( ))(( )( )( )( )( )(( )( )(((((((( )))((( )( )( ))( ))( )(((( )( ))((((( )( )( )(((((( )( )( )( ))(( )))))))) ( )( )(((( ) ( )(( )( )( )))( )( )(( )((( ))(((( ))))))(( )( )( )( ))( )( ))(( )( )( )( )( )(( )( )(((((((( )))...
       
NOG MEER HAAKJES!
       
Kijk naar de rechthoek hiernaast. Die is verdeeld in 4 kleinere rechthoeken.
De oppervlakte van die rechthoek kun je op twee manieren gaan opschrijven.

manier 1.

Je zegt gewoon oppervlakte = lengte ื breedte
In dit geval is de lengte  a + b  en de breedte  c + d
De oppervlakte is dus  O = (a + b) • (c + d)

manier 2.

       
Je kunt ook zeggen: ik bereken de oppervlakte door de oppervlaktes van de vier kleinere gekleurde rechthoeken apart uit te rekenen en dan die vier getallen bij elkaar op te tellen.
Dan krijg je oppervlakte  O = a • c + a • d + b • c + b • d

Die oppervlaktes moeten natuurlijk gelijk zijn, dus de enige mogelijke conclusie is:
       

(a + b) • (c + d) = ac + ad + bc + bd

       
Wat gebeurt er nou eigenlijk?  Je moet elk getal binnen dat eerste paar haakjes vermenigvuldigen met elk getal binnen dat tweede paar haakjes. Met onze blokjes-notatie zou dat er z๓ uitzien:
       

       
Dat enorme blok links is gesplitst in vier kleine blokjes rechts.
•  Denk erom dat in plaats van die a, b, c of d  ook elk ander blokje kan staan.
•  En bedenk verder dat je misschien het antwoord (die 4 kleine blokjes rechts) nog weer eenvoudiger kunt schrijven door blokjes samen te nemen.

 

voorbeeldje 1:
(2x + 3) • (4 + 5a
= 2x • 4 + 2x • 5a + 3 • 4 + 3 • 5a 
=  8x + 10xa + 12 + 15a 

voorbeeldje 2:
(4 - 2p) • (5 + q)
= 4 • 5 + 4 • q  + -2p • 5 + -2p • q
= 20 + 4q - 10p - 10pq

Dubbele letters.

Als een letter dubbel in een blokje voorkomt, dan kun je dat als volgt korter schrijven:

       

xx  =  x2

     
Je spreekt dat uit als  "x kwadraat"
Dat tweetje in de lucht betekent dus eigenlijk dat die letter er twee keer staat.
(En ja, voordat je het vraagt; het kan ook met nog grotere aantallen;  een drietje in de lucht betekent dat de letter er drie keer staat, maar daar gaan we het in een latere les nog uitgebreid over hebben).

voorbeeldje 3:
(x + 8)(5 - x)
= x • 5 - x • x + 8 • 5 + 8 • -x
= 5x - x2 + 40 - 8x
= -3x - x2 + 40
       
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:
       
  a. 2a(3 + 3b)
  b. 5 + 2(6x - 4)
  c. 3x - 4(2 + x)
  d. -6(3x + 4y)
  e. -2(4a - 5b)
  f. 4 - (3y - 6)
       
2. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:
  a. -x(-3 - 4y) + 3x(2 + 6x)
  b. 2p(2q - 8) - q(6 - 4p)
  c. 2(a(3b + c) - 2ac)
  d. 12 - 3q(-3 + p) + 2p(2 - q)
       
3. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:
  a. (x + 7)(x - 3)
  b. (a - 5)(a - 6)
  c. (b - 4)(5 + 3b)
  d. (3 - 2h)(3h + 1)
  e. (3x - 1)(x + 2) - 5x
  f. (2x + 4)(2x - 3) - 4x2
       
       
 
       
Leuk Spelletje...
       
Hier heb ik een strookje papier met een heleboel haakjes, ruitjes en vraagtekens:
       

       
De vraagtekens staan voor de cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
De ruitjes staan voor de bewerkingen:   +  of 

Speler A verandert het meest linkse vraagteken in een cijfer.
Daarna verandert speler B het ruitje ernaast in een + of een ื
 en het volgende vraagteken in een cijfer.
Daarna verandert speler A het ruitje ernaast in een + of een ื  en het volgende vraagteken in een cijfer.

En zo gaat dat alsmaar door (van links naar rechts) totdat alle tekens zijn veranderd.
Elk cijfer mag maar ้้n keer worden gebruikt. Dan staan er dus precies alle cijfers van 0 tm 9 en een onbekend aantal keer + en
.

Je kunt dan uitrekenen wat er uit deze som komt.
Als de uitkomst een oneven getal is heeft speler A gewonnen, als het een even getal is heeft speler B gewonnen.

Ik zou zeggen:  ga het spelletje eerst een paar keer spelen!!!!

Zie je hoe speler A altijd kan winnen?
       
       

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)