h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Grafieken en snijpunten in de GR
     
Deze methode maakt gebruik van de TI-84 plus CE-T
     
En van de meest gebruikte functies van je TI-83 is het plotten van grafieken.
Daarvoor zul je vooral de 4 gekleurde knoppen hiernaast gebruiken.
"PLOTTEN" is eigenlijk hetzelfde als tekenen van een grafiek, alleen doet in dit geval je rekenmachine het werk voor je.

Het gaat als volgt:
 

Y= Als je deze knop (de blauwe hiernaast)  indrukt kom je in het menu om een formule in te voeren. Dat ziet er z uit:
   
 

     
  Als je wat anders in beeld hebt moet je  MODE indrukken en dan zorgen dat de vierde regel op Function staat. Zie hiernaast.

Staan er al formules in, dan kun je die verwijderen door er op te gaan staan met de cursor en dan CLEAR te gebruiken.
     
X,T,θ,n Je kunt nu de formule invoeren waarbij de x (of welke letter je ook maar in je formule hebt staan) gegeven wordt door de "vreemde" knop hiernaast (oranje omcirkeld in de TI-84 bovenaan).
     
WINDOW Het is nu zaak om aan te geven tussen welke waarden jouw x-as en y-as moeten bestaan. Dat gaat met de knop WINDOW (groen omcirkeld hierboven)
Je krijgt dan het beeld hiernaast.
Bij Xmin en Xmax kun je de kleinste en de grootste x-waarden die je in beeld wilt hebben invoeren. En op dezelfde manier bij Ymin en Ymax de kleinste en grootste y-waarden.

(Xscl en Yscl zijn niet zo belangrijk; ze geven aan om de hoeveel getallen er een streepje op de x-as of y-as moet komen te staan).
 

 
   
     
GRAPH Druk tenslotte op GRAPH (geel omcirkeld) en je TI tekent een grafiek voor je.  Voila!
     
WAT KAN ER MISGAAN?
- een hele waslijst!-
     
Help, ik krijg  ERR:SYNTAX  in beeld. Wat moet ik doen?

Waarschijnlijk staat er een fout in je formule. Bijvoorbeeld een haakje dat wordt geopend maar niet gesloten. Als je op 2:GOTO gaat staan en dan ENTER  indrukt dan kom je op de plek van de fout in je formule.

De meest gemaakte fouten:
    haakjes missend of teveel
  het verkeerde minteken. 
    De -  staat voor "van elkaar aftrekken" en de (-) voor "negatief getal"
       
Help, ik krijg ERR: INVALID DIM  in beeld. Wat moet ik doen?

Het kan zijn dat er statistiekplots aanstaan. Als je    Y =    indrukt staat daar boven in beeld  plot1, plot2 en plot3. Die moeten niet zwart zijn! Als dat wel zo is, ga er dan met de cursor heen en druk op ENTER.

       
Help, ik krijg geen foutmelding in beeld, maar ook geen grafiek! Wat moet ik doen?

Controleer of het  = teken van    Y  =    wel zwart is. Als dat niet zo is, dan staat jouw formule niet aan. Ga op het = teken staan en druk op ENTER.
Als dat niet helpt kijk dan hieronder bij WINDOW.

 

       
Help, ik krijg geen x-as en y-as in beeld. Wat moet ik doen?

Met  FORMAT kun je kijken of je assen aan staan of uit  (AxesOn - AxesOff).
Als dat niet helpt kijk dan hieronder bij
WINDOW.
       
WINDOW.
       
Soms doe je "niets fout" maar krijg je toch geen grafiek in beeld. Dat komt dan omdat de grafiek buiten je beeld valt, of juist ergens zo klein in een hoekje van je beeld zit dat je het niet ziet. 
Plot bijvoorbeeld de grafieken van  Y1 = 1/(X - 500)  en  Y2 =  X^6 + 200 en je ziet waarschijnlijk beide keren niets!
Er zijn twee manieren om je WINDOW in zo'n geval toch goed te krijgen.

manier 1:  Laat je rekenmachine het doen!

       
Met de toets ZOOM  en dan optie 0: Zoomfit  gaat je rekenmachine zelf proberen een geschikt venster te vinden.
Mijn TI-84 geeft bij deze formules dan de vensters en grafieken hieronder.
       

       
manier 2:  Gebruik   TABLE

Bij TABLE kun je gewoon zien hoe groot de y-waarden bij bepaalde x-waarden zijn. Vaak weet je uit het verhaaltje bij een opgave al wel ongeveer hoe groot de x-waarden moeten zijn, en dan kun je in de tabel kijken hoe groot de bijbehorende y-waarden, en dus Ymin en Ymax, moeten zijn. Via TBLSET kun je instellen bij welke x je tabel moet beginnen  (TblStart) en hoe groot de stappen tussen de opvolgende x-waarden moeten zijn (DTbl)
Deze methode is eigenlijk wat beter omdat je beter in de gaten houdt wat er aan de hand is.
Bij de eerste formule zou je misschien uit de tekst kunnen opmaken dat x in de buurt van de 500 ligt. Bij TABLE zie je dan in de buurt van x = 500 waarden van y in de buurt van -0,5.
WINDOW  Xmin = 450, Xmax = 550, Ymin = -1 en Ymax = 1 geeft de grafiek hiernaast en die is natuurlijk veel mooier dan de grafiek die je rekenmachine met Zoomfit had gevonden.
       
Als je met n van deze beide methoden maar eenmaal een klein stukje van de grafiek in beeld hebt, kun je daarna wel proberen om de "hele"  grafiek beter of mooier in beeld te krijgen.
       
Snijpunten.
     
Als je meerdere formules hebt ingevoerd (via Y  = ), dan kun je je rekenmachine de snijpunten van de grafieken die bij die formules horen laten berekenen.

Dat gaat als volgt:
       
Voer eerst twee formules in bij   Y  =
Bijvoorbeeld  Y1 = 2X + 1  en  Y2 =  X^2 - 2
Laat de grafieken in n figuur plotten en zorg dat je snijpunten in beeld hebt. Hiernaast is dat gebeurd (met WINDOW:   Xmin = -6, Xmax = 6, Ymin = -6, Ymax = 10)
Vervolgens druk je op CALC  en je neemt optie 5 : intersect.
Je rekenmachine gaat je nu vragen van welke twee grafieken je het snijpunt wilt hebben (het zou immers kunnen dat je meer dan twee formules hebt ingevoerd)
In beeld krijg je eerst "First Curve?"  met bovenin een formule.
Als dat inderdaad n van de benodigde formules is, druk je op  ENTER.
(als het niet zo is, kun je via de cursortoetsen "omhoog" en "omlaag" andere formules kiezen)
Dan vraagt je rekenmachine "Second Curve?" en weer druk je op ENTER als de tweede formule boven in beeld staat.
Tot slot krijg je de vraag "Guess?"
Ga met de cursor ongeveer op het gewenste snijpunt staan, druk op ENTER en het snijpunt wordt voor je berekend.
       
In dit geval is het snijpunt dus het punt  (3, 7) (of  (-1, -1) als je bij Guess daarheen was gegaan met de cursor)

Meest voorkomende toepassing.

Het vaakst zul je dit gebruiken als je een vergelijking moet oplossen. Ofwel als gevraagd wordt:  wanneer zijn de twee formules gelijk aan elkaar?
Immers, voor het snijpunt van twee grafieken schrijf je de formules achter elkaar met "="ertussen.
Hierboven hebben we eigenlijk opgelost  2x + 1 = x2 - 2
De x van het snijpunt is dus meteen de oplossing van de vergelijking.

       

De x van het snijpunt is de oplossing van de vergelijking

       
Dat betekent dat je voortaan altijd als je een vergelijking krijgt de ene kant van het  =teken bij Y1=  kunt zetten en de andere kant bij Y2=  en dan met intersect de oplossing kunt vinden.
       

Voorbeeld: 
Los op:  √x + 3x = 10

       
Voer de formules in als hierboven, plot de grafieken en gebruik intersect.
Dat levert vanzelf de oplossing.
Hiernaast zie je dat de oplossing van deze vergelijking is  x 2,78

Als je besluit een opgave via deze manier op te lossen moet je DUIDELIJK uitleggen hoe je dat hebt gedaan. Dat betekent dat je moet aangeven wat er in Y1 en Y2 heeft gestaan, en ook dat je de optie CALC - intersect   hebt gebruikt.

     
 
     
                                       
     
  OPGAVEN.
     
1. PLOT de grafieken van de volgende functies, zorg met het goede WINDOW dat je de grafiek een beetje mooi midden in je beeld hebt. Probeer speciale punten als maxima, minima en snijpunten met de x-as en y-as goed in beeld te krijgen.
  a. y = x4 - 3x3 + 12  
  b. y = 2(10 - x)  
  c. y = √(0,01x2 - 2)  
       
2. Bereken de snijpunten van de grafieken van de volgende formules:
  a. y =  2x - 18  en  y = 6x + 12
  b. y = √(x + 8) en  y = 1/x
  c. y = 5 - x2  en  y = 2/(x - 4)
  d y = 5 - 6x   en  y = x4 + x3 - x2  
       
3. Los op:
  a. 1 - x2 = 4x + x4  
  b. √(x + 2) = 1/(x - 4)  
       
4. Hiernaast is het zijaanzicht van een skatebaan getekend. Deze baan begint in punt A en eindigt in punt C, zes meter horizontaal vanaf A
De formule die de vorm van de baan beschrijft is:

H(x) = 0,1x3 0,6x2 + 3,2

Bereken voor welke waarden van x de baan lager dan 2 meter is.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)